计量经济学 | 多元分析入门
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发布时间:2024-09-29 12:19
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热心网友
时间:2024-11-17 10:14
上文介绍了最基本的一元回归统计,现在让我们深入多元回归统计的领域。
实际上,现实世界中的情况很少是简单的,往往需要多个变量来描述。例如,人生最重要的幸福,并非一两个因素就能完全解释。那些追求单一因素最大化的人,往往也未能找到真正的幸福。
虽然变量增多,分析的思路实际上并没有改变。
按照惯例,我们先来看一下假设。
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多元分析与一元分析类似,有五个假设:
参数线性,随机抽样,不存在完全共线性,零条件均值,同方差。这五个假设合称为高斯-马尔可夫假定。
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有了假设之后,接下来是OLS的推导。
仿照一元OLS推导的过程,我们再次写出目标函数,求解待定参数的值。类似地,矩估计也会有相似的结果。不过这一组方程看起来不太容易解,我们可以用另一个思路,即偏效应。具体分为两步操作。
第一步,对其他解释变量回归,得到残差,即不含其他自变量信息的因素。
第二步,对残差回归,得到(计算方式参照一元回归系数估计公式)。
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多元统计与一元统计的结果有什么联系呢?不妨来检验一下结果。
取与之间的关系为,其中为对回归的系数估计。
看起来公式很多不好理解?没关系,我们可以分两步这么看。
第一步,对回归,得到一个用表示的关系式。
第二步,将上式带入用表示的关系式,即。
此处仅作理解,不应当作正式证明使用。
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接下来则是最重要的性质信息。
首先是均值,延续上文的方式,我们先利用期望的迭代公式,由此,我们先求,由之,还可以得到,所以有。
其次是方差,其中为拟合优度,又或者。
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最后的最后,便是我们的重头戏——高斯-马尔可夫定理。
在前面的五个假设下,分别是的最优线性无偏估计量(BLUE)。无偏在上文已经证过了,现在来证明有效性。
我们取另一个线性无偏估计量,由于原本的满足,不妨取满足,则由线性与无偏性有,因而可以得到,易证(留作习题)即有,该结论对于一元函数也是成立的。
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周末有空就讲讲习题呀,以上还只是多元分析的基础,习题之后,将是老大难的t检验与F检验。
参考文献
最后的最后,发现任何不足欢迎拍砖,我将用它慢慢盖起知识殿堂。