椭圆x2/a2+y2/b2=1 两焦点为F1,F2,P是椭圆上一点且向量PF1乘以向量PF...

发布网友发布时间：2024-09-29 06:22

共2个回答

热心网友时间：2024-10-25 22:10

设F1（-c，0），F2（c，0），其中 c^2=a^2-b^2 ，
另设 P（x，y）是椭圆上任一点，
则 PF1=（-c-x ，-y），PF2=（c-x，-y），
所以由 PF1*PF2=(-c-x)(c-x)+(-y)(-y)
=x^2+y^2-c^2
=x^2+b^2(1-x^2/a^2)-c^2
=c^2/a^2*x^2+b^2-c^2
=0
得 x^2=(c^2-b^2)a^2/c^2 ，
由 0<=x^2<=a^2 得 0<=(c^2-b^2)a^2/c^2<=a^2 ，
因此 b^2<=c^2 ，
也即 a^2-c^2<=c^2 ，
因此解得 c^2/a^2>=1/2 ，
所以 e>=√2/2 ，
因为椭圆离心率小于 1 ，
所以得所求椭圆离心率的范围是 [√2/2，1）。

热心网友时间：2024-10-25 22:09

椭圆上一点P与两焦点F1、F2所成的角∠F1PF2的最大值，是当点P位于短轴端点B时取得的，本题中，要使得存在点P，使得∠F1PF2=90°，则只需：
∠F1BF2≥90°，即：
b≤c
b²≤c²
a²－c²≤c²
a²≤2c²
e²=c²/a²≥1/2
e≥√2/2
即：
e∈[√2/2，1)