cn0+2cn1+3cn2+4cn3+...+ncnn=2n

证明：（1）记S=C n 1 +2C n 2 +3C n 3 +…+nC n n , 倒序则S=nC n n +（n-1）C n n-1 +…+C n 1 ∴2S=nc n +nC n 1 +…+nC n n =n•2 n ∴S=n•2 n-1 …

若用分类原理，一号盒子中没有小球的放法有cn0种，有一个小球的放法有cn1种，有两个小球的放法有cn2种，有n个小球的放法有cnn种，共有放法cn0+cn1+cn2+…+cnn种显然，两种方法得到的结果相同，所以有cn0+cn1+cn2+…+cnn＝2^n。

∵kCnk=nCn-1k-1∴原式=（Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+…+Cnn）+n（Cn-10+Cn-11+Cn-12+Cn-13++Cn-1n-1）=2n+n2n-1=（n+2）?2n-1故选D

+（n+1）Cnn又S=（n+1）Cnn+nCnn-1+…+1?Cn0相加2S=（n+2）（Cn0+Cn1+…+Cnn）∴S＝n+2n?2n＝(n+2)?2n?1（3）当q=1时 Sn=na1S1Cn0+S2Cn1+…+Sn+1Cnn=a1Cn0+2a1Cn1+…+（n+1）a1Cnn=a1（

Cn(k)*a^k*b^(n-k)，继续我们可以选取k = 0、1、2、...n个a ,所以就会知道课本上（a+b）^n 是如何展开的，也就是二项式展开的公式.好的 现在回来再看一个特殊的例子 ，令a = 1, b =1 那么带到（a+b）^n二项式展开的公式里面，就完成了你的证明 (打完了，手好酸 ，没法粘贴...

..+Cnn=2^n这个知道吧 所以就要构造上面那个式子 倒序相加法 设S=0*Cn0+1*Cn1+2*Cn2+..+(n-1)*Cn n-1+n*Cnn s=n*Cnn+..+(n-1)*Cn n-1+..+2*Cn2+1*Cn1+0*Cn0 两式相加 (利用Cnk=Cn (n-k))2s=n*(Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn)=n*2^n s=n*2^(n-1)

如图，该式可以证明

证明:Cn0 +2Cn1 +3Cn2+.+（n+1)Cnn=S(n+1)Cnn+nCn(n-1)+.+Cn0=S(就是把上式反过来写)Cnn=Cn0,Cn(n-1)=Cn1上面两式相加得:(n+2)Cn0+(n+2)Cn1+.+(n+2)Cnn=2S (n+2)(Cn0+Cn1+.+Cnn) (n+2)2^n=2S S=(n+2)2^(n-1)=右边故原式得证这是倒序相加法的典型应用 ...

+nCnn，倒序则S=nCnn+（n-1）Cnn-1+…+Cn1 （2分）∴2S=ncn0+nCn1+…+nCnn=n?2n∴S=n?2n-1 …（2分）解：（2）Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）Cnn=（Cn0+Cn1+…Cnn）+（Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn） （1分）=2n+n?2n-1＜1000由于7?26+27=576＜1000＜1280=8?27+28，∴n=...

根据Cn1+Cn2+...+CnN=(1+X)^n,其中使X=1因为(1+X)^n=Cn1X+Cn2X^2+Cn3X^3+...+CnNX^n所以对(1+X)^n求导即为右边=Cn1+2Cn2X+3Cn3X^2+...+nCnNX^(n-1)左边=n(1+X)^n再令X=1,左右相等即可