...设f(x)在x=0的邻域内连续,求f(0)并证明f'(0)存在并求之,求常数...

已知f(x)在x=0的某邻域内连续，所以，极限值等于函数值。f(0)=lim x→0 f(x)=lim x→0 [(2+a)x^2+ln(1+x)]/x =洛必达法则=limx→0 2(2+a)x+1/(1+x) =1 f(0)=1。f'(0)=lim x→0 [f(x)-f(0)]/x =lim x→0 [f(x)-1]/x =lim x→0 [(2+a)x^2...

通分并以x为分母，知分母趋于零分子必趋于零，得limx->0[3f(x)-2+ln(x+1)/x]=0,得limx->0f(x)=1/3=f(0)（连续）

f(x)在点x=0的某一领域内有连续的二阶导数,所以该函数在x=0的某一领域内可导,所以x→0,lim[f(x)-f(0)]/x=f'(0),因为limf(x)/x=0 极限存在 而lim[f(x)-f(0)]/x的极限也存在,所以limf(0)/x=0的极限也存在 所以f(0)=0,由x→0,lim[f(x)-f(0)]/x=f'(0)=0 ...

极限值＝1/4 过程如下图：

（1）因为 limx→0(1+x+f(x)x)1x=e3，所以：limx→0ln(1+x+f(x)x)x=3由于分母极限为0，所以 limx→0ln(1+x+f(x)x)=0，即：limx→0(x+f(x)x)=0limx→0f(x)x=0，又因为 f（x）在x=0连续，则 limx→0f(x)=f(0)=0f′(0)=limx→0f(x)-f(0)x-0=0，...

f(x)-f(sinx)=f'(t)(x-sinx),t∈(sinx,x)原极限=f'(t)(x-sinx)/x^4 =f'(t)(x-x+x^3/6+o(x^4))/x^4 =f'(t)(x^3/6+o(x^4))/x^4 =1/6*f'(t)/x =1/6*[f'(t)-f'(0)]/(t-0) *t/x =1/6*f''(0)*t/x 由于sinx<t<x 所以sinx/x<t/x<1...

limx→0∫x0dt∫ t0f(u)dusinx2=limx→0(∫ x0dt∫ t0f(u)du)′(sinx2)′=limx→0∫x0f(u)du2xcosx2=limx→0∫x0f(u)du2x=limx→0(∫ x0f(u)du)′(2x)′=limx→0f(x)2=f(0)2=12．故答案为：12．

x＾f(x)化为e^f(x)linx 利用符合函数的性质limx＾f(x)=e^limf(x)linx (x趋向于0正）那么原问题转化为证明lim(f(x)*ln(x))=0这时候将原式看成F(X)/1/LINX就是0/0型未定式，用罗比大，条件都有了

所以lim（x→0）f（x）=lim（x→0）[x*f（x）/x]=lim（x→0）x*lim（x→0）f（x）/x =0*0=0 而f（x）在x=0点二阶可导，说明f（x）和f'（x）在x=0点都连续 所以f（0）=lim（x→0）f（x）=0 那么f'（0）=lim（x→0）[f（x）-f（0）]/x =lim（x→0）f（x）...

不能得出f'（x）在x=0点处连续的结论，可以找到反例。反例如下：