...x∈D,f(|x|)=|f(x)|,则称y=f(x)在D内为对等函数.(1)
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发布时间：2024-09-29 09:23
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时间：2024-10-12 10:06
（2）研究对数函数y=log a x，其定义域为（0，+∞），所以log a |x|=log a x，又|log a x|≥0，所以当且仅当log a x≥0时f（|x|）=|f（x）|成立．所以对数函数y=log a x在其定义域（0，+∞）内不是对等函数．（6分）
当0＜a＜1时，若x∈（0，1]，则log a x≥0，此时y=log a x是对等函数；
当a＞1时，若x∈[1，+∞），则log a x≥0，此时y=log a x是对等函数；
总之，当0＜a＜1时，在（0，1]及其任意非空子集内y=log a x是对等函数；当a＞1时，在[1，+∞）及其任意非空子集内y=log a x是对等函数．（10分）
（3）对任意x∈D，讨论f（x）与f（-x）的关系．
1）若D不关于原点对称，如 y= x 虽是对等函数，但不是奇函数或偶函数；（11分）
2）若D={0}，则f（0）=|f（0）|≥0．当f（0）=0时，f（x）既是奇函数又是偶函数；当f（0）＞0时，f（x）是偶函数．（13分）
3）以下均在D关于原点对称的假设下讨论．
当x＞0时，f（|x|）=f（x）=|f（x）|≥0；
当x＜0时，f（|x|）=f（-x）=|f（x）|，若|f（x）|=f（x），则有f（-x）=f（x）；此时，当x＞0时，-x＜0，令-x=t，则x=-t，且t＜0，由前面讨论知，f（-t）=f（t），从而f（x）=f（-x）；
综上讨论，当x＜0时，若f（x）≥0，则f（x）是偶函数．（15分）
若当x＜0时，f（x）≤0，则f（|x|）=f（-x）=|f（x）|=-f（x）；此时，当x＞0时，-x＜0，令-x=t，则x=-t，且t＜0，由前面讨论知，f（-t）=-f（t），从而f（x）=-f（-x）；
若f（0）=0，则对任意x∈D，都有f（-x）=-f（x）．
综上讨论，若当x＜0时，f（x）≤0，且f（0）=0，则f（x）是奇函数．若f（0）≠0，则f（x）不是奇函数也不是偶函数．（18分）
