莱布尼茨三角形初步思想
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发布时间：2024-09-05 10:52
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时间：2024-09-28 03:12
莱布尼茨在其研究中，通过一个关键的发现，即特征三角形，解决了两个核心问题。首先，他发现曲线的切线斜率与纵坐标变化与横坐标变化的比例有关，当这些变化趋近于无穷小时，这个比例就是dy/dx，对应于曲线y在点T处的切线。例如，比较图1中的△PQR与△STU，它们相似，从而推导出切线斜率的公式dy/dx=Tu/Su。
其次，他认识到面积的计算与横坐标无限小的区间内纵坐标的和相关，或者说是无限窄矩形的和。这种理念引导他从微分的角度出发，通过特征三角形，即微分三角形(differential triangle)，其中斜边PQ用"ds"表示，ds²=dx²+dy²，推导出了许多新的结论。
早在1673年，莱布尼茨就利用特征三角形的这一工具，通过积分变换，成功地得到了平面曲线的面积公式，这个公式是基于几何原理推导出来的，他经常以此来求解面积问题。1673至1674年间，他进一步发展了这一理论，给出了计算曲线y=y(x)绕x轴旋转形成的旋转体表面积A的公式，以及曲线长度的计算公式。
在面积求解上，莱布尼茨深受卡瓦列里理论影响，他将曲线下的面积视为无穷多个小矩形的总和。1675年10月29日，他创新性地使用积分符号"∫"，替代了之前的和符号"Omn"，并用"∫ydx"表示面积，这个过程中，他还从积分的角度出发，推导出了分部积分公式，这是他理论的一大重要进展。
扩展资料
叙述了莱布尼茨三角形产生的历史和莱布尼茨使用其创立微积分及在数学上作出的贡献
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时间：2024-09-28 03:11
莱布尼茨在其研究中，通过一个关键的发现，即特征三角形，解决了两个核心问题。首先，他发现曲线的切线斜率与纵坐标变化与横坐标变化的比例有关，当这些变化趋近于无穷小时，这个比例就是dy/dx，对应于曲线y在点T处的切线。例如，比较图1中的△PQR与△STU，它们相似，从而推导出切线斜率的公式dy/dx=Tu/Su。
其次，他认识到面积的计算与横坐标无限小的区间内纵坐标的和相关，或者说是无限窄矩形的和。这种理念引导他从微分的角度出发，通过特征三角形，即微分三角形(differential triangle)，其中斜边PQ用"ds"表示，ds²=dx²+dy²，推导出了许多新的结论。
早在1673年，莱布尼茨就利用特征三角形的这一工具，通过积分变换，成功地得到了平面曲线的面积公式，这个公式是基于几何原理推导出来的，他经常以此来求解面积问题。1673至1674年间，他进一步发展了这一理论，给出了计算曲线y=y(x)绕x轴旋转形成的旋转体表面积A的公式，以及曲线长度的计算公式。
在面积求解上，莱布尼茨深受卡瓦列里理论影响，他将曲线下的面积视为无穷多个小矩形的总和。1675年10月29日，他创新性地使用积分符号"∫"，替代了之前的和符号"Omn"，并用"∫ydx"表示面积，这个过程中，他还从积分的角度出发，推导出了分部积分公式，这是他理论的一大重要进展。
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叙述了莱布尼茨三角形产生的历史和莱布尼茨使用其创立微积分及在数学上作出的贡献
