box-cox变换Box-Cox变换
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发布时间：2024-09-05 10:40
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时间：2024-09-14 11:18
(1.1) Y' = Y^(λ)，其中λ是一个待定的变换参数。不同的λ值对应不同的变换，比如λ=0表示对数变换（对应自然对数），λ=1/2表示平方根变换，λ=-1则为倒数变换。这种变换形式形成一个变换族，可根据数据特性灵活选择。
通过Box-Cox变换，原始变量Y的分布可能得到改善，如图1所示。变换后的变量分布，如图2所示，更符合线性回归模型的假设。对n个Y的观测值进行Box-Cox变换，得到新的向量Y'。
变换的目标是使得变换后的向量Y'与自变量存在线性关系，并使得误差项服从正态分布且具有等方差和独立性。为了达到这个目标，我们通常采用极大似然法估计λ。似然函数可写作：
(1.4) L(λ, θ) = Λ(λ) * exp(-1/2 * Σ(Y' - θ)^2)
其中Λ(λ)是变换Jacobian行列式的函数，θ是回归参数。固定θ后，对λ求极大似然估计，得到λ的估计值。
具体求解过程是，首先对(1.4)关于λ和θ求导，然后令导数等于0，得到:
(1.6) dL(λ, θ)/dλ = 0
(1.7) dL(λ, θ)/dθ = 0
简化后，由于lnx的单调性，可以对(1.8)取对数，忽略与λ无关的常数项：
(1.8) ln(L(λ, θ)) ≈ -n/2 * ln(Σ(Y' - θ)^2) - ln(Λ(λ))
通过最小化残差平方和Σ(Y' - θ)^2，我们可以找到λ的最大值，从而实现Box-Cox变换的最佳参数选择。
热心网友
时间：2024-10-27 11:17
(1.1) Y' = Y^(λ)，其中λ是一个待定的变换参数。不同的λ值对应不同的变换，比如λ=0表示对数变换（对应自然对数），λ=1/2表示平方根变换，λ=-1则为倒数变换。这种变换形式形成一个变换族，可根据数据特性灵活选择。
通过Box-Cox变换，原始变量Y的分布可能得到改善，如图1所示。变换后的变量分布，如图2所示，更符合线性回归模型的假设。对n个Y的观测值进行Box-Cox变换，得到新的向量Y'。
变换的目标是使得变换后的向量Y'与自变量存在线性关系，并使得误差项服从正态分布且具有等方差和独立性。为了达到这个目标，我们通常采用极大似然法估计λ。似然函数可写作：
(1.4) L(λ, θ) = Λ(λ) * exp(-1/2 * Σ(Y' - θ)^2)
其中Λ(λ)是变换Jacobian行列式的函数，θ是回归参数。固定θ后，对λ求极大似然估计，得到λ的估计值。
具体求解过程是，首先对(1.4)关于λ和θ求导，然后令导数等于0，得到:
(1.6) dL(λ, θ)/dλ = 0
(1.7) dL(λ, θ)/dθ = 0
简化后，由于lnx的单调性，可以对(1.8)取对数，忽略与λ无关的常数项：
(1.8) ln(L(λ, θ)) ≈ -n/2 * ln(Σ(Y' - θ)^2) - ln(Λ(λ))
通过最小化残差平方和Σ(Y' - θ)^2，我们可以找到λ的最大值，从而实现Box-Cox变换的最佳参数选择。
