为什么要用拉普拉斯变换求解电流?
发布网友
发布时间：2024-09-06 00:31
共1个回答
热心网友
时间：2024-09-29 23:55
根据题意，我们可以列出电路的方程：$$ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int_0^t i(\tau) d\tau = V_s $$
其中，$L$ 是电感的电感值，$C$ 是电容的电容值，$i(t)$ 是电流，$V_s$ 是电源电压。由于在 $t<0$ 时电路处于稳定，
所以可以得到 $i(0^-)=i(0^+)=i(0)=0$。在 $t>0$ 时，
我们可以对方程进行拉普拉斯变换：$$ L [sI(s) - i(0)] + \frac{1}{Cs}I(s) = V_s $$代入初始条件 $i(0) = 0$，
解得：$$ I(s) = \frac{V_s}{sL + \frac{1}{Cs}} $$
接下来，我们可以将 $I(s)$ 进行部分分式分解：$$ I(s) = \frac{V_s}{sL + \frac{1}{Cs}} = \frac{A}{sL} + \frac{B}{\frac{1}{Cs}} = \frac{V_s}{LC}\left(\frac{1}{s+\frac{1}{RC}}\right) $$其中，$R=\frac{L}{C}$ 是电路的时间常数。
对上式进行拉普拉斯反变换，得到：$$ i(t) = \frac{V_s}{R} e^{-\frac{t}{RC}}u(t) $$
其中，$u(t)$ 是单位阶跃函数，表示电路在 $t=0$ 时突然通电的情况。
因此，$i(t)$ 在 $t>0$ 时是一个指数函数，且指数的底数是一个小于 1 的正数，表示电路中电流的衰减。
热心网友
时间：2024-09-29 23:59
根据题意，我们可以列出电路的方程：$$ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int_0^t i(\tau) d\tau = V_s $$
其中，$L$ 是电感的电感值，$C$ 是电容的电容值，$i(t)$ 是电流，$V_s$ 是电源电压。由于在 $t<0$ 时电路处于稳定，
所以可以得到 $i(0^-)=i(0^+)=i(0)=0$。在 $t>0$ 时，
我们可以对方程进行拉普拉斯变换：$$ L [sI(s) - i(0)] + \frac{1}{Cs}I(s) = V_s $$代入初始条件 $i(0) = 0$，
解得：$$ I(s) = \frac{V_s}{sL + \frac{1}{Cs}} $$
接下来，我们可以将 $I(s)$ 进行部分分式分解：$$ I(s) = \frac{V_s}{sL + \frac{1}{Cs}} = \frac{A}{sL} + \frac{B}{\frac{1}{Cs}} = \frac{V_s}{LC}\left(\frac{1}{s+\frac{1}{RC}}\right) $$其中，$R=\frac{L}{C}$ 是电路的时间常数。
对上式进行拉普拉斯反变换，得到：$$ i(t) = \frac{V_s}{R} e^{-\frac{t}{RC}}u(t) $$
其中，$u(t)$ 是单位阶跃函数，表示电路在 $t=0$ 时突然通电的情况。
因此，$i(t)$ 在 $t>0$ 时是一个指数函数，且指数的底数是一个小于 1 的正数，表示电路中电流的衰减。
