海伦公式证明过程

发布网友发布时间：2024-08-20 17:51

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热心网友时间：2024-08-30 16:55

海伦公式可以通过三角公式和变形来证明。设三角形的三边a, b, c的对角分别为A, B, C，余弦定理给出:

cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)

三角形面积S可以通过sinC计算，即S = 1/2 * ab * √(1 - cos²C)，进一步化简为：

S = 1/4 * √[4a²b² - (a² + b² - c²)²] = 1/4 * √[(2ab + a² + b² - c²)(2ab - a² - b² + c²)]

设p = (a + b + c) / 2，可以进一步简化为S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)]，这就是海伦公式的基本形式。

中国宋代数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，它的原理与海伦公式相似。在《九章算术》中，已有类似三角形面积的计算方法，但实际应用时，通过求边长计算面积并不方便。秦九韶的“三斜求积术”通过计算三边的平方和与中间值的平方差，得出面积的公式，也与海伦公式一致。

对于四边形的面积，如内接于圆的四边形ABCD，可以利用海伦公式推广。已知AB=BC=4, CD=2, DA=6，通过代入周长的一半p和边长，可以求得其面积。

在△ABC中，内切圆半径r和半周长p与角度有关，通过正弦定理和余弦定理的结合，也可以证明出面积公式S = √p(p - a)(p - b)(p - c)。

扩展资料

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证)。