求一角平分线

发布网友发布时间：2024-07-21 18:43

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热心网友时间：2024-08-09 02:52

有2个方法。
角平分线有2条，这2条角平分线相互垂直。

方法1的思路：
1）确定交点I.
2）在第1条直线上取一点A,
3) 在第2条直线上取一点B,使得|AI| = |BI|
4) 求出线段AB的中点C.
5) 2直线的角平分线 = 过I和C的直线。

方法2的思路：
1）确定交点I（a,b)
2) 写出过交点的直线的点斜式方程 y - b = k(x - a)
3）设A,B分别为2直线与X轴正向的夹角，则其中1条角平分线与X轴正向的夹角 = （A+B）/2.
4）由 k1 = tanA, k2 = tanB,计算出k = tan[(A+B)/2]
5) 得2角平分线方程，y - b = k(x - a）和y - b = -(x - a)/k.
[k = 0或者无穷的特殊情况单独讨论]

方法1.
先求交点
y = -1.5x + 2,
y = x - 2.

x = 4/2.5 = 1.6,
y = 1.6 - 2 = -0.4

把2直线都写成由交点出发的参数方程，
y + 0.4 = -1.5(x - 1.6),

令，x = 1.6 + t, y = -0.4 - 1.5t. t为任意实数
[相当于令t = x - 1.6]

y + 0.4 = x - 1.6,

令，x = 1.6 + u, y = -0.4 + u. u 为任意实数
【相当于，令u = x - 1.6】
这样，
直线y + 0.4 = -1.5(x - 1.6)上任一点（1.6 + t, -0.4 - 1.5t）到交点的距离的平方 = t^2 + (-1.5t)^2 = 3.25t^2.

直线y + 0.4 = x - 1.6上任一点（1.6 + u, -0.4 + u）到交点的距离的平方 = u^2 + u^2 = 2u^2.

在直线x = 1.6 + t, y = -0.4 - 1.5t上取一点A，比如令t = 4, x = 5.6, y = -6.4.
A(5.6, -6.4)到交点的距离的平方 = 3.25(4)^2 = 52

在直线x = 1.6 + u, y = -0.4 + u上取一点B,使得B到交点的距离的平方 = 52，

2u^2 = 52, u^2 = 26, u = (26)^(1/2)或者u = -(26)^(1/2)

B = [1.6 + (26)^(1/2), -0.4 + (26)^(1/2)]
或者
B = [1.6 - (26)^(1/2), -0.4 - (26)^(1/2)]

2直线的角平分线就是过线段AB的中点和交点的直线。
AB的中点 = {(5.6, -6.4) + [1.6 + (26)^(1/2), -0.4 + (26)^(1/2)]}/2 = {7.2 + (26)^(1/2), -6.8 + (26)^(1/2)}/2
或者
AB的中点 = {(5.6, -6.4) + [1.6 - (26)^(1/2), -0.4 - (26)^(1/2)]}/2 = {7.2 - (26)^(1/2), -6.8 - (26)^(1/2)}/2

利用2点式，可以写出2直线的角平分线的直线方程，
(x - 1.6)/[7.2 + (26)^(1/2) - 1.6] = (y+0.4)/[-6.8 + (26)^(1/2) + 0.4]

或者
(x - 1.6)/[7.2 - (26)^(1/2) - 1.6] = (y+0.4)/[-6.8 - (26)^(1/2) + 0.4]

方法2.

交点
（1.6，-0.4）

过交点的直线的点斜式方程
y + 0.4 = k(x - 1.6)

直线y + 0.4 = -1.5(x - 1.6), k1 = -1.5

直线y + 0.4 = x - 1.6, k2 = 1.

设A,B分别为直线y + 0.4 = -1.5(x - 1.6)和y + 0.4 = x - 1.6与X轴正向的夹角。
则 -PI/2 < A,B <= PI/2.
cos(A) >= 0, cos(B) >= 0.
sec(A) >= 0, sec(B) >= 0.

[K1 = 无穷时，A = PI/2; 0 > K1时， -PI/2 < A < 0; 0 <= K1 时， 0 <= A < PI/2]

tan(A/2) = sin(A/2)/cos(A/2) = 2sin(A/2)cos(A/2)/[cos(A/2)]^2 = sin(A)/[1 + cos(A)] = tan(A)/[1 + sec(A)]

= tan(A)/(1 + {1 + [tan(A)]^2}^(1/2))

= k1/{1 + [1 + (k1)^2]^(1/2)}

= -1.5/{1 + [1 + (-1.5)^2]^(1/2)}

= -1.5/{1 + (3.25)^(1/2)}

tan(B/2) = tan(B)/(1 + {1 + [tan(B)]^2}^(1/2))

= k2/{1 + [1 + (k2)^2]^(1/2)}

= 1/{1 + [1 + 1]^(1/2)}

= 1/{1 + 2^(1/2)}

k = tan[(A+B)/2] = [tan(A/2) + tan(B/2)]/[1 - tan(A/2)tan(B/2)]

= {1/[1 + 2^(1/2)] - 1.5/[1 + (3.25)^(1/2)]}/(1 + 1.5/{[1 + 2^(1/2)][1 + (3.25)^(1/2)]})

= {1 + (3.25)^(1/2) - 1.5[1 + 2^(1/2)]}/{1.5 + [1 + 2^(1/2)][1 + (3.25)^(1/2)]}

= {(3.25)^(1/2) - (1.5)2^(1/2) - 0.5}/{2.5 + 2^(1/2) + (3.25)^(1/2) + (6.5)^(1/2)}

2角平分线方程，y - b = k(x - a）和y - b = -(x - a)/k.

【k1 = 无穷时，A = PI/2, A/2 = PI/4, tan(A/2) = 1.
同样，可以利用tan[(A+B)/2] = [tan(A/2) + tan(B/2)]/[1 - tan(A)tan（B）]来计算】

【tan(A/2) = -tan(B/2)时，k = 0，角平分线方程分别为y = b和x=a】

【tan(A/2)tan(B/2) = 1时，k 为无穷，角平分线方程分别为y = b和x=a】

注：
老土的俺没qq,
老破烂的俺的网的hi总断。
要讨论只能在答复和修改答复中了，
不方便的地方请包涵。