如果gcd(a b)=1 ,证明gcd(ab,c)=gcd(a,c)*gcd(b,c) 怎么证阿
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发布时间：2024-07-13 07:15
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时间：2024-08-03 18:09
则x|ab 且x|c 因gcd(a,b)=1 所以x|a或x|b
若x|a且x|c 则x|gcd(a,c) 即x|y
若x|b且x|c 则x|gcd(b,c) 即x|z
所以x|yz
又y|a且 y|c z|b且 z|c
由y|a且 y|c 可得到y|ab 且y|c 那么y|gcd(ab,c)
同理 z|gcd(ab,c) 所以lcm(y,z)|gcd(ab.c)
注意到y|a ,z|b 而gcd(a,b)=1 所以gcd(y,z)=1 有 lcm(y,z)=yz
注lcm最小公倍数
所以yz|gcd(ab,c)
所以x|yz yz|x
x=yz
