如果A是n阶方阵,A = 单位矩阵;A^k = E(单位矩阵),求证A可以对角化...
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发布时间：2024-07-31 01:58
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时间：2024-07-31 03:46
因为 A^k = E 所以 A可逆,即A的特征根非零.
如果A不可对角化,根据亚当标准型,存在 两个非零向量 x1,x2,及一个非零特征根a,使得：
Ax2 = a x2,Ax1 = ax1 + x2.
则:
A^2x1 = A(ax1 + x2) = a^2 x1 + 2ax2
A^3x1 = A(a^2x1 + 2ax2) = a^3 x1 + 3a^2 x2
.
A^k x1 = A(a^(k-1)x1 + (k-1)a^(k-2)x2) = a^k x1 + ka^(k-1)x2
A^k = E ==> A^k x1 = x1,===> ka^(k-1) = 0,矛盾!
所以A可以对角化
如果A是n阶方阵,A = 单位矩阵;A^k = E(单位矩阵),求证A可以对角化...
因为 A^k = E 所以 A可逆,即A的特征根非零.如果A不可对角化,根据亚当标准型,存在 两个非零向量 x1,x2,及一个非零特征根a,使得：Ax2 = a x2,Ax1 = ax1 + x2.则:A^2x1 = A(ax1 + x2) = a^2 x1 + 2ax2 A^3x1 = A(a^2x1 + 2ax2) = a^3 x1 + 3a^2 x2 ....
设A是n阶方阵,若有正整数k,使得A^k=E,证明A相似于对角矩阵
因为 A^k = E 所以 A可逆，即A的特征根非零。如果A不可对角化， 根据亚当标准型，存在 两个非零向量 x1, x2, 及一个非零特征根a, 使得：Ax2 = a x2, Ax1 = ax1 + x2.则:A^2x1 = A(ax1 + x2) = a^2 x1 + 2ax2 A^3x1 = A(a^2x1 + 2ax2) = a^3 x1 + 3a...
...使得A^m=E,这里的E为单位矩阵,A为n阶方阵,证明A相似于对角型矩阵...
a ^ K ===> a ^ K表X1 = X1，===> KA ^（K-1）= 0，矛盾！所以A可对角化，它类似于一个对角矩阵A
...A是复数域上的矩阵,若存在K大于等于1,使得A^k=E,证明A可对角化_百 ...
A^k=E说明A的极小多项式是x^k-1的因子，所以一定没有重根
如何判断矩阵可以对角化?
An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k (3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化;(4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。n阶单位矩阵的所有特征值都是1，但是它仍然有n个线性无关的特征向量，因此单位矩阵可以对角化。
方阵可以对角化的充要条件是什么?
n 阶方阵可以对角化的充要条件是有 n 个线性无关的特征向量。
如何判断矩阵可对角化?
1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4、λ0具有k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r（λ0E-A）=n-k，其中E为单位矩阵。
矩阵可对角化的充分必要条件是?
An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量；(2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k；(3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化；(4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。
可以对角化吗
可以。因为任何n－1阶子式的秩不超过n－3，所以其行列式一定是0，从而伴随矩阵为0。r（A）＝n－1时A的伴随非零。考虑矩阵的秩，有：R（AB）≤R（A），则n＝R（E）＝R（A＾K）≤R（A）≤n，R（A）＝n 所以A是非奇异阵，可以对角化。
矩阵的相似对角化是什么意思?
假定A是n阶矩阵，不然会有问题 令P=[a,Aa,...,A^{n-1}a]，那么P是可逆矩阵并且AP=PF，其中F具有[e_2,e_3,...,e_n,*]的形式(e_k表示单位阵的第k列，*是一个列向量)，也就是说A和F相似（因为P^{-1}AP=F）对于F而言，对任何实数t都有rank(F-tI)>=n-1（因为其前n-1列...
