25、等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,BC=AC,△ADE也是等腰直角三角形,连 ...
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发布时间：2024-07-27 15:25
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时间：2024-07-27 16:04
因为角ADE是等腰直角三角形
所以角ADE=90度
AD=ED
因为角ADE+角CDE=180度
所以角CDE=90度
因为三角形ABC是等腰直角三角形
所以角ACB=90度
AC=BC
所以角CDE=角ACB=90度
所以DE平行BC
所以角DEF=角GBF
角FDE=角FGB
因为F是BE的中点
所以EF=BF
所以三角形DEF和三角形GBF全等（AAS)
所以DE=GB
DF=GF
所以F是DG的中点
所以CF是三角形CDG的中线
因为角ACB=90度（已证）
三角形DCG是直角三角形
因为AC=CD+DA
BC=GB+CG
DE=DA=GB（已证）
所以CD=CG
所以三角形DCG是等腰直角三角形
所以CF是等腰直角三角形DCG的中线，垂线
所以CF垂直DF CF=DF
(2) （1）的结论仍然成立 CF垂直DF CF=DF
证明；延长DF，使FM=DF，连接BM，CM ,CD
所以CF是三角形DCM的中线
因为F是BE的中点
所以EF=BF
因为角DFE=角MFB（对顶角相等）
所以三角形DEF和三角形MBF全等（SAS）
所以ED=BM
角DEF=角MBF
因为三角形ADE是等腰直角三角形
所以ED=AD
角DAE=角DEA=45度
因为三角形ACB是等腰直角三角形
所以AC=BC
角CAB=角CBA=45度
因为角EAB+角AEB+角ABF=180度
角EAB=角DAE+角DAC+角CAB=90+角DAC
角AEB=角DEA-角DEF=45-角DEF=45-角MBF
角MBF=角ABM+角ABE
所以角DAC=45+角ABM
因为角MBC=角CBA+角ABM=45+角ABM
所以角DAC=角MBC
因为AD=BM（已证）
AC=BC（已证）
所以三角形DAC和三角形MBC全等（SAS）
所以角DCA=角MCB
CD=CM
所以三角形DCM的等腰三角形
因为角ACB=角ACM+角MCB=90度
角DCM=角ACM+角DCA=90度
所以角DCM=90度
所以三角形DCM是等腰直角三角形
所以CF是等腰直角三角形DCM的中线，垂线
所以CF垂直DF CF=DF
