常微分方程,求解5,6题,财富值好说～
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发布时间：2024-07-22 00:43
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时间：2024-08-06 04:29
分离变量得到 du/(u+1)=dx/(x+1)
解得 u+1=C(x+1) 其中C为任意常数
那么 y²=C(x+1)-x-1
6题(1) xy'+y=(xy)'=e^(2x) xy=(1/2)e^(2x)+C y=[(1/2)e^(2x)+C]/x
y(1/2)= 2 [(1/2)e+C]=e+2C=2e 故C=e/2
y=[e^(2x)+e]/(2x)
(2) (ye^x)'=y'e^x+ye^x=(y'+y)e^x=1
ye^x=x+C y=（x+C）e^(-x)
y(0)=5 故 C=5
y=（x+5）e^(-x)
(3)分离变量 dy/(1+y²)=dx
arctany=x+C
y(0)=1 得C=π/4
arctany=x+π/4
y=tan(x+π/4)=[tanx+1]/(1-tanx)
(4) y=ux 则 y'=u'x+u
u'x+u=(-2u²)/(u²-3)
u'x=-u -[2u²/(u²-3) ]=(-u³-2u²+3u)/(u²-3）
分离变量可得到 (u²-3) du/(-u³-2u²+3u) =dx/x
积分可到 （-1/2）ln|u+3|-ln|u|+（1/2）ln|u-1| =ln|x|+C
可得到 （-1/2）ln|y+3x|-ln|y|+（1/2）ln|y-x|=C
那么有 （y+3x）y²/(y-x) =±e^(2C)
（y+3x）y²=A(y-x) [A=±e^(2C) 也是常数]
注意y(0)=1 有 A=1
故（y+3x）y²=(y-x)
或 x=(y-y³)/(3y²+1)
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时间：2024-08-06 04:34
