十字相乘和双十字相乘讲解和习题。
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发布时间：2022-05-06 18:43
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时间：2023-09-10 19:36
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
例题
例1 把2x^2-7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=1×3==(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1 =5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3 =7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)=-5
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)=-7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).
一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
a1 c1
� ╳
a2 c2
a1a2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.
例2： 把6x^2-7x-5分解因式.
分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种
2 1
╳
3 -5
2×(-5)+3×1=-7
是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5).
指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是
1 -3
╳
1 5
1×5+1×(-3)=2
所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).
例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式.
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
1 2
�╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.
例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.
问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2)=－3
指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
例5 x^2+2x-15
分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。=(x-3)(x+5)
总结：
①x^2＋（p+q）x＋pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋(p+q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)
②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解
如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么
kx^2＋mx＋n＝(ax+b)(cx+d)
a b
╳
c d
通俗方法
先将二次项分解成（1 X 二次项系数），将常数项分解成（1 X 常数项）然后以下面的格式写
1 1X
二次项系数 常数项
若交叉相乘后数值等于一次项系数则成立 ，不相等就要按照以下的方法进行试验。（一般的题很简单，最多3次就可以算出正确答案。）
需要多次实验的格式为：（注意：此时的abcd不是指（ax^2+bx+c）里面的系数，而且abcd最好为整数）
a b
╳
c d
第一次a=1 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第二次a=1 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第三次a=2 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第四次a=2 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第五次a=2 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第六次a=3 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第七次a=3 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
......
依此类推
直到（ad+cb=一次项系数）为止。最终的结果格式为(ax+b)(cx+d)
例解：
2x^2+7x+6
第一次：
1 1
╳
2 6
1X6+2X1=8 8>7 不成立 继续试
第二次
1 2
╳
2 3
1X3+2X2=7 所以 分解后为:(x+2)(2x+3)
可以说十字相乘法是一种很方便有效地方法,掌握了它能对我们学习因式分解更有帮助.
用十字相乘法分解因式：
(1)2x2－5x－12；
(2)3x2－5x－2；
(3)6x2－13x+5；
(4)7x2－19x－6；
(5)12x2－13x+3；
(6)4x2+24x+27.
(7)6x2－13xy+6y2；
(8)8x2y2+6xy－35；
(9)18x2－21xy+5y2；
(10)2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b)
(11)2x2+3x+1；
(12)2y2+y－6；
(13)6x2－13x+6；
(14)3a2－7a－6；
(15)6x2－11xy+3y2；
(16)4m2+8mn+3n2；
(17)10x2－21xy+2y2；
(18)8m2－22mn+15n
(19)4n2+4n－15；
(20)6a2+a－35；
(21)5x2－8x－13；
(22)4x2+15x+9
(23)15x2+x－2；
(24)6y2+19y+10；
(25)20－9y－20y2；
(26)7(x－1)2+4(x－1)(y+2)－20(y+2)
双十字相乘法
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．
例如：
分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
即
-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕
=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，它表示的是下面三个关系式：
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．
这就是所谓的双十字相乘法．
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
例1 分解因式
(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；
(2)x2-y2+5x+3y+4；
(3)xy+y2+x-y-2；
(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．
解：
(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．
(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．
(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．
(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．
2．求根法
我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如 f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．
如对上面的多项式f(x)，f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．
定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．
根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．
参考资料：http://speed2.zxxk.com/SoftInfo.aspx?InfoID=664694
