泛函分析:2.1 赋范空间的基本概念

发布网友发布时间：2024-09-08 19:28

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热心网友时间：2024-09-30 15:41

泛函分析中的2.1节探讨了赋范空间的基础概念。首先，"长度"在赋范空间中具有一些关键性质，如范数的定义（p55）和范数空间的性质，如它是距离空间，允许定义开集、闭集和完备性，以及极限概念（||xn-x||→0，n趋向无穷大）。（p56）

Banach空间是特别的赋范空间，即完备的范数空间，其在理论分析中具有重要地位，保证了极限运算的严谨性（p56）。

然而，并非所有距离空间都能从赋范空间自然衍生，它们需要满足平移不变性和正齐次性（p57）。并非所有距离都可以由范数诱导，如例2.1.8所示，它是一个不完备的范数空间。

为了使不完备的空间完备化，如例2.1.8，我们可以应用定理2.1.9，证明任何赋范空间都可被完备化（p58）。例如，通过完备化，c[a,b]上的不同范数，如二范数和三范数，将被深入研究。

最后，全体连续函数的线性空间，经过范数定义后，其完备化在下一节（2.2）将进一步讨论，形成了一个重要的分析工具，如[公式]所示的空间（p...）。

热心网友时间：2024-09-30 15:49