为什么列满秩一定有零解?

发布网友发布时间：2024-09-06 17:08

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热心网友时间：2024-12-14 08:35

当我们谈论“列满秩”与零解的关系时，关键在于秩的定义。若一个线性方程组的列秩(A)等于其列数n，即RA=n，这意味着线性组合的所有列线性无关。在这种情况下，若对应的行向量组RS=0（即秩-秩=0），那么唯一的可能就是所有行向量都对应于零向量，从而导致该方程组只有零解，即AX=0的唯一解是X=0。

对于常数项全为零的线性方程组，当方程组的行数m小于列数n（即未知数多于方程），则存在非零解，因为这允许至少一个自由变量。反之，当行数等于列数，且方程个数不足以独立确定所有未知数，方程组将只有零解，这是矩阵秩的性质决定的。

进一步理解，齐次线性方程组的性质还包括：任意两个解的和仍然是解；一个解的k倍也是解；系数矩阵秩为n时，只有唯一零解；秩小于n时，则存在无限多个解。特别地，n元齐次方程组有非零解的条件是其行列式为零，而系数矩阵非零则保证了唯一的零解（即克莱姆法则）。