已知任意三角形的三条边长,如何求三角形面积?是否有通用公式?
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发布时间:2022-05-07 00:35
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时间:2023-10-09 15:36
海伦定理
海*式又译希*式,传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表。
假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s:
s=\frac{a+b+c}{2}
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海*式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。
[编辑]证明
与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则馀弦定理为
\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
从而有
\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}
因此三角形的面积S为
S = \frac{1}{2}ab \sin(C)
= \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}
= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
最后的等号部分可用因式分解予以导出。
你也可以在百度上搜索“海伦定理”查找有关资料
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时间:2023-10-09 15:37
已知三角形的三边分别是a、b、c,
先算出周长的一半s=1/2(a+b+c)
则该三角形面积S=根号[s(s-a)(s-b)(s-c)]
这个公式叫海伦——秦九昭公式
证明:
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,
则根据余弦定理c²=a²+b²-2ab·cosC,得
cosC = (a²+b²-c²)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos²C)
=1/2*ab*√[1-(a²+b²-c²)²/4a²b²]
=1/4*√[4a²b²-(a²+b²-c²)²]
=1/4*√[(2ab+a²+b²-c²)(2ab-a²-b²+c²)]
=1/4*√{[(a+b)²-c²][c²-(a-b)²]}
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设s=(a+b+c)/2
则s=(a+b+c), s-a=(-a+b+c)/2, s-b=(a-b+c)/2, s-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]
所以,三角形ABC面积S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]
证明完毕
{*是乘号的意思,√是根号的意思}
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时间:2023-10-09 15:37
嗯,可以用角度的话,就直接用余弦定理求角度,然后广义勾股定理就可以了
当然,也可以用海*式:
设三边长为a、b、c,
则s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p为半周长
p=(a+b+c)/2
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时间:2023-10-09 15:38
先求出三角形的半周长(a+b+c)/2(a,b,c为三边)
设他的半周长为x
面积为:根号(x*(x-a)*(x-b)*(x-c))
热心网友
时间:2023-10-09 15:39
先用余弦定理求出一个角度
再用正弦定理求面积
已知任意三角形的三条边长,如何求三角形面积?是否有通用公式?
嗯,可以用角度的话,就直接用余弦定理求角度,然后广义勾股定理就可以了 当然,也可以用海伦公式:设三边长为a、b、c,则s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p为半周长 p=(a+b+c)/2
已知任意三角形的三条边长,如何求三角形面积?是否有通用公式?
已知三角形的三边分别是a、b、c,先算出周长的一半s=1/2(a+b+c)则该三角形面积S=根号[s(s-a)(s-b)(s-c)]这个公式叫海伦——秦九昭公式 证明:设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则根据余弦定理c²=a²+b²-2ab·cosC,得 cosC = (a²+b...
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已知三角形的三边长如何求面积?
1、已知三角形的三边,可以使用海伦公式直接计算出三角形的面积,公式中三角形的面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c),其中p=(a+b+c),a,b,c是三角形的三条边。2、海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。相传这...
知三角形的三边长 如何求三角形的面积?应有一公式 是什么?
设三边长为a,b,c,a边所对的角为A 先用余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc 通过cosA求出sinA S=b*c*sinA/2
已知三边长如何求三角面积
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已知三角形的三边长如何求面积?
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已知三角形三边长求三角形的面积怎么做?
巳知三角形的三边长如何求三角形的面积:可用海伦公式:如图,在三角形ABC中,三角形的三条边分别为a、b、C。三角形的半周长用P表示,p=(a+b+c)/2。三角形的面积用S表示,S=PX(p-a)X(p-b)X(P-C)假设a=3.b=4.C=5.计算得:p=6 S=36 。
已知三角形的三边长如何求三角形的面积公式?
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已知三角形三边求面积的公式是?
已知三角形三边求面积的公式是海伦公式。海伦公式的具体表达为:对于任何三角形,假设其三边长分别为a、b、c,那么该三角形的面积S可以用以下公式计算:S = √p 其中,p表示半周长,计算公式为:p = / 2。这个公式的推导基于三角形的一些基本性质和几何知识。海伦公式的应用非常广泛,尤其是在...