关于导数与间断点
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发布时间:2022-05-07 00:20
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热心网友
时间:2023-10-09 10:03
一问:可微一定可导,可导一定是连续的。所以间断点的导数不存在。
二问:没有紧邻的没有距离的两点。实数是具有稠密性的,意思就是说数轴上任何两点之间必存在实数。
热心网友
时间:2023-10-09 10:04
达布(Darboux)定理(导函数的介值定理)
若函数f在[a,b]上可导,且
,k为介于
和
之间的任一实数,则至少存在一点
,使得
。
五、中值定理的一些推论及中值定理的应用初步
1、Rolle定理的推论:若f在[
,
]上连续,在(
,
)内可导,
,则存在
,使得
(简言之:可导函数的两个之间必有导数的零点)。
2、Lagrang定理的推论:
推论1
若函数f在区间I上可导,且
,
,则f为I上的一个常量函数。
几何意义:斜率处处为0的曲线一定是平行于x轴的直线。
简单应用:证明:(1)在[-1,1]上恒有:
,
(2)在
上恒有:
推广:若f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)中除有限个点外有
,则f在I上是常数函数。
推论2
若函数f和g均在I上可导,且
,
,则在区间I上f(x)与g(x)只差一个常数,即存在常数C,使得
。
推论3
(导数极限定理)设函数f在点
的某邻域
内连续,在
内可导,且
存在,则f在点
可导,且
。
应用一:关于方程根的讨论(存在性)――主要应用Rolle定理
例1:设f为R上的可导函数,证明:若方程
没有实根,则方程f(x)=0至多只有一个实根。
例2:设f
,在
连续可微,在(a,b)二阶可微,且
,证明:
在(a,b)中至少有一个根。
例3;已知
,证明:
至少有一正实根。
例4:设
,证明
于(0,1)中至少有一根。
例5:设
,在(0,1)可导,证明:若f(0)=f(1)=0,则在(0,1)内存在一点
,使得
。
例6:设f在[a,b](a>0)上连续;在(a,b)内可导,则存在
(a,b),使得f(b)-f(a)=
。
例7:设
,证明:
满足
。
应用二:用中值定理证明公式
例1:证明:对一切h>-1,h≠0有公式
例2:证明:当a>b>0时,
。
例3:证明:
,
。
例4:设f在[0,a]一阶连续可微,在(0,a)二阶可微,且存在正数M使
,又设f在(0,a)存在稳定点c,证明:
。