d[ f(1/x^2) ] /dx=1/x 那么f(1/2)的导数等于什么,高分求解
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发布时间：2024-09-29 03:06
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时间：2024-10-09 06:25
用复合函式求导法则：
令y=1/x^2
df(1/x^2)/dx=df(y)/dy*dy/dx=f'(y)*y'=f'(y)*(-2/x^3)=1/x
∴f'(y)=-x^2/2=-1/2y
代入y=1/2得：f'(1/2)=-1
1/x^2=1/2
x=√2 或 x=-√2
f'(1/2)=-√2/2 或 f'(1/2)=√2/2
选 A。
根据对数函式的除法公式可得：f[a]=-f[-a]
1. 设y=x^(1/x) ，则lny=1/x *lnx 两边对x求导
1/y *y'=(-1/x^2)lnx+1/x*1/x
所以y'=y*(1/x^2-1/x^2*lnx)=x^(1/x)/x^2 (1-lnx)
2. f'(x)=-sin(1/x)*(-1/x^2)=sin(1/x)/x^2
带入x=2/pi得到
f'(2/π)=1/(2/π)^2=π^2/4
不是
√x导数是1/2√x
所以2√x导数是1/√x
这题涉及的是微积分，微分即求导，是对原函式进行求导；而积分是对已知导函式而求原函式，他们是一个互逆的过程；因此从原题来看，我们进行分析可知，已知原函式的导数，反过来原函式却需要我们得出，因此这就不再是对导数求导，而是要对导数进行积分来求原函式，这样解释不知会不会让你听得更迷惑，希望你懂。
故此题是要做积分，而非微分，将1/√x进行一个转化，转化为x^(-1/2)，这样就变成一个未知数的指数形式了，我们都知道，对于一个函式y=x^a，对其求导可得，y'=a*x^(a-1)，求导就是将指数a变成导函式的系数，而指数a减去1（a-1）变成导函式的新指数，他们的乘积即为原函式的导函式，而积分就是对这种形式的一个逆过程，将导函式的指数（-1/2）加上1所得的结果（1/2），其倒数（用1除以这个数）再乘以导函式前的系数，新产生的系数即为原函式的真正系数，而求导是指数减1，则积分就是指数加1，即为：-1/2+1=1/2，故生成的原函式为：2*x^(1/2)+C，这里的系数C，其实是一个常量，简单来讲就是一个实数，为什么会有这个实数，因为我们知道，实数的导数为零，虽然题目并未交代原函式是否有实数，但是我们在做积分的时候不能忽略这一点，必须先进行假设，如果题目条件给得足够多，我们就可以将这些条件代入我们求解生成的原函式 2*x^(1/2)+C 来确认是否存在这个实数及确切值为多少，这样就可以得到完整的原函数了。
因此我给出的答案为： 2*x^(1/2)+C。
要想验证我们求得的结果是否正确，只需将结果（即原函式）进行一次求导，看求得的导函式是否与题干给出的一样，如果一样，则答案正确；如果不一样，则需要按上述方法重新求解，所以说得出答案固然重要，但对于严谨的人来说，对答案的验证也同样不可少。
这里另外给出两个简单的总结：
1、已知原函式求导数，即微分，
原函式 y=A*x^a+C
原函式 导函式
y=A*x^a+C ===============> y'=（A*a）*x^(a-1)
2、已知导函式求原函式，即积分，
导函式 y=B*x^b+D
导函式 原函式
y=B*x^b+D ===============> y=[B/(b+1)]*x^(b+1)+D*x+E
其中C、D、E均为实数。
不知道我讲得有没有让你懂，如果因为我的表达不好让你没弄懂，先抱歉一下。
d/dx {f(x^2) } = 1/x
2x f'(x^2) = 1/x
f'(x^2) = 1/(2x^2)
f'(x) = 1/(2x)
f(x) = (1/2) lnx + C
f(1) = C=2
f(x) = (1/2)lnx + 2
那是
f'(x^2) = 1/x
f'(x) = x^(-1/2)
f(x) = 2x^(1/2) + C
f(1) = 2 + C =2 =>C = 0
f(x) = 2x^(1/2)
df((1-x^2)^1/2)/dx
=2(1-x^2)^(1/2)/[1-(1-x^2)^(1/2)^2]^1/2*[(1-x^2)^(1/2)]'(也就是先把
(1-x^2)^1/2)看成一个整体代入f(x)导数的表示式，再对它进行求导)=
f(x)=2x/(x+1)
f(1/x)=(2/x)/(1/x+1)=2/(x+1)
f(x)+f(1/x)=2x/(x+1)+2/(x+1)=2
f(1/2008)+f(1/2007)+....+f(1/2)+f(1)+f(2)+...+f(2008)
=[f(1/2008)+f(2008)]+[f(1/2007)+f(2007)]+....+[f(1/2)+f(2)]+f(1)
=2+2+...+2+1
=2*2007+1
=4015
令t=1/x ∵f(t)=t/(t+1) ∴f(x)=x/(x+1) ∵f(x)+f(1/x)=x/(x+1)+1/(x+1)=1 ∴F(1)+F(1/2)+F(2)+F(1/3)+F(3)+F(4)+F(1/4)=1/2+3=7/2
