已知a,b,c属于r+,证明a^2+b^2+c^2+(1÷a+1÷b+1÷c)^2≥6倍根号3,并...

发布网友发布时间：2024-09-28 06:52

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热心网友时间：2024-10-22 12:14

a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2

=a^2+b^2+c^2+1/a^2+1/b^2+1/c^2+2/ab+2/bc+2/ca

>=a^2+b^2+c^2+3(1/ab+1/bc+1/ca)=(a^2+3/ab)+(b^2+3/bc)+(c^2+3/ca)

>=2√(3a/b)+2√(3b/c)+2√(3c/a)

>=6√3

a=b=c=四次根号3取等

热心网友时间：2024-10-22 12:17

a^2+b^2+c^2+(1÷a+1÷b+1÷c）^2
≥3*（三次根号(abc)^2）+（3*（三次根号(1/abc)）^2
=3*（三次根号(abc)^2）+9*1/（三次根号(abc)^2）
≥2√[3*（三次根号(abc)^2）*9*1/（三次根号(abc)^2）]
=2√[3*9]=6√3
第一次用不等式，等号成立时，a=b=c
第二次用不等式，等号成立时，[3*（三次根号(abc)^2）=9*1/（三次根号(abc)^2）]
三次根号(abc)^4=3
(abc)^4=27
a^12=27
所以，a=b=c=四次根号3