MATLAB学习笔记02:1.特殊矩阵、2.矩阵变换、3.矩阵求指、4.矩阵的特征...
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发布时间:2024-09-28 17:27
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时间:2024-10-13 23:26
声明:本人学习MATLAB的课程来源为:数学建模比赛MATLAB从入门到精通教程_哔哩哔哩_bilibili
本文章只是本人的学习笔记,对视频PPT中的内容作了注释。如果大家想系统的学习,建议看原视频。
概要:一、特殊矩阵
randn() 函数举例:
A_1中元素的均值为0,方差为1
1.1 以 zeros() 函数 为例
注:其他函数的语法同理
例题:
1.2 魔方矩阵(Magic Square)
n阶魔方矩阵:由nxn个元素组成,元素的值为:(1 \sim n^2 )的整数,且不重复。每行、每列、主、副对角线上元素之和相等,为(1+2+3+...+n^2)/n = (n+n^3)/2
语法:magic(n) 产生n阶魔方阵
1.3 范德蒙矩阵
n阶范德蒙矩阵:给定一个n维向量,范德蒙矩阵由这个 n维向量的0次、1次、2次、...... 、n-1次方构成
语法:vander(向量)
1.4 希尔伯特矩阵
n阶希尔伯特矩阵:元素值=1/(行号+列号-1)
语法:hilb(n)
补充:format rat ,数据用分数表示
1.5 伴随矩阵
n阶伴随矩阵:已知n次多项式 p(x) ,则第一行的值如下,其他行的值由0和1组成、
其中:p(x)=0的根为矩阵A的特征值
语法:compan(多项式系数组成的向量)
1.6 帕斯卡矩阵
n阶帕斯卡矩阵:根据二项式定理,对(x+y)^n展开后的系数进行排列,也可以看出杨辉三角
帕斯卡矩阵特点:
语法:pascal(n)
二、矩阵变换
2.1 对角阵
1.提取对角线元素
MATLAB矩阵对角线规定:主对角线为第0条对角线,往右or上,k+1;往左or下,k-1
对角矩阵常用来总体改变矩阵每一行或者每一列的值
2.2 三角阵
1.上三角矩阵triu(其中u代表up)
2.下三角矩阵tril(其中l代表low)
用法与上三角矩阵triu完全相同
2.3 矩阵的转置
2.4 矩阵的旋转
2.5 矩阵的翻转
2.6 矩阵的求逆
方阵A和方阵B,若AB=BA=I(单位矩阵),则AB互逆
求A的逆矩阵语法:
三、矩阵求值
3.1 矩阵的行列式
3.2 矩阵的秩
矩阵的秩:矩阵线性无关的行数或列数
3.3 矩阵的迹
矩阵的迹 = 矩阵的对角线元素之和 = 矩阵的特征值之和
3.4 向量和矩阵的范数
1.向量的3种常用范数
2.矩阵的范数
矩阵的范数调用和向量的范数一样,用norm函数
3.5 矩阵的条件数
矩阵A的条件数 = A的范数 * A逆的范数
条件数越接近1,矩阵的性能越好,反之越差
四、矩阵的特征值与特征向量
矩阵特征值和特征向量:设 A是n阶方阵 ,如果存在 常数 [公式] 和 n维非零列向量X ,使得 等式AX= [公式] X成立 ,则称 [公式] 为A的特征值 ,X是对应特征值 [公式] 的特征向量
函数调用格式:
特征值的几何意义:变换矩阵
令[公式] , [公式] 其中 [公式] 表示向量
则A相当于变换矩阵 ,结果相当于让向量 [公式] 伸缩了 [公式] 倍,得到向量 [公式]
当X不是特征向量时,则AX后的结果会发生旋转
五、稀疏矩阵
稀疏矩阵:矩阵中0元素远远多于非0元素
5.1 矩阵的存储方式
完全存储方式 与 稀疏存储方式 之间的转化
5.2 直接建立稀疏存储矩阵
用spconvert函数 直接建立稀疏存储矩阵,含义如下:
5.3 带状稀疏矩阵的稀疏存储
稀疏矩阵分为:
带状稀疏矩阵(结构规则的):所有非零元素集中在对角线上的矩阵,但并不是对角线元素都非零
5.4 单位矩阵的稀疏存储
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