求解:二次函数在某点增加速度最快的问题
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发布时间：2022-05-09 20:12
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时间：2023-10-17 03:59
p0(1,1)
gradf(1,1)是函数z=f(x,y)在p0处的梯度，是个向量
gradf(1,1)=(1,1)
这里打数学的东西太痛苦了 我就这样说吧
gradf(x,y)=(u,v)
u是f对x的偏导在p0处的值，v是f对y的偏导在p0处的值追问请教一下 gradf（x，y）按照书上的定义算出来应该是xi+yi，点（1,1）虽然也表示向量，但是请问gradf（1，1）=（1,1）是如何推导出来的呢？
gradf（x，y）求出来分别是偏导数在p0处的值，但是如何证明它是在（1,1）处增长最快的方向呢?
追答不知道怎么弄图 悲剧
gradf(x,y)=(u,v)
u是f对x的偏导在p0处的值，v是f对y的偏导在p0处的值
f(x,y)对x的偏导为x，求法就是把y看成常量，直接对x求导。f(x,y)对y的偏导值为y，求法就是把x看成常量,直接对y求导
然后带入在p0处的值，x=1,y=1 既u=1,v=1
gradf(x,y)=(1,1)
表示函数在坐标轴方向上的变化率不是由gradf决定 ，而是由方向导数fl(p)决定，方向导数越大函数增长越快，梯度是增长最快的位置的方向
方向（1,1）处之所以是增长最快的方向，是因为f(x,y)在p0处方向导数存在，并且方向导数fl(p)=fx(p)cosa+fy(p)cosb=gradf(p)*(cosa,cosb) 在方向gradf(1,1)处取最大值
cosa,cosb为方向余弦（就是函数方向向量和个坐标轴的夹角余弦，由于是二元的，所以a+b=90）
我突然发现这题给了p0(1,1),那么方向导数就是fl(p0)=u*cosa+v*cosb=cosa+cosb 其中a+b=90
这样最大值是根号2，是在a=b=45时取，这时(cosa,cosb)就是增长最快的方向，
要求gradf(p0)的话，可由fl(p0)=fx(p0)cosa+fy(p0)cosb=gradf(p0)*(cosa,cosb) 即
cosa+cosb=gradf(p0)*(cosa,cosb) 可算出gradf(p0)的模是根号2，方向是(cosa,cosb)，其中a=b=90
所以gradf(p0)=(1,1)
