很简单的2道高中数学题
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发布时间：2022-05-09 19:56
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时间：2023-10-16 10:27
1,当n=1时，1×2×3=6，能被6整除
2，当n=2时，2×3×5=30，能被6整除
3，假设当n=n-1时，（n-1）n(2n-1)能被6整除
4，则当n=n时n(n+1)(2n+1)
=n[(n-1)+2][(2n-1)+2]
=n[(n-1)(2n-1)+2(n-1)+2(2n-1)+4]
=n(n-1)(2n-1)+n*6n
因为 n(n-1)(2n-1)可以被6整除，6n^2可以被6整除
得证。
2.
1.当n=1时，1+8+27=36，能被9整除
2.当n=2时，8+27+64=99，能被9整除
3.假设当n=n-1时，（n-1）^3+n^3+(n+1)^3,能被9整除
4.则，当n=n时，
n^3+(n+1)^3+(n+2)^3
= n^3+(n+1)^3+(n-1+3)^3
=n^3+(n+1)^3+[(n-1)^3+3*3(n-1)^2+3*(n-1)*3^2+3^3]
=n^3+(n+1)^3+(n-1)^3+3*3(n-1)^2+3*(n-1)*3^2+3^3]
等式能被9整除
得证。
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时间：2023-10-16 10:28
能被6整除也就是能被2和3整除。
容易证明n(n+1)能被2整除。
用归纳法，奠基和假设就省略了。
n(n+1)(2n+1)能被3整除，假如n+1被3整除，那么x=（n+1)(n+2)(2n+3)被3整除，
假如n被3整除那么2n+3被3整除，所以x被3整除，假如2n+1被3整除由于n+2=3（n+1）-（2n+1）所以也能被3整除，还是有x被3整除。得证。
2。奠基省略。由于(n+1)3+(n+2)3+(n+3)3=(n+1)3+(n+2)3+n3+27+3(3n2+9n)=(n3+(n+1)3+(n+2)3)+9(n2+3n+3)根据归纳假设加号前面能被9整除，加号后面是9的倍数，因此归纳成立，得证
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时间：2023-10-16 10:28
左边=1*2*3=6 能被6整除
当N=K时,K(K+1)(2K+1)能被6整除
当N=K+1时,(K+1)(K+2)(2K+3)=(K+1)[K(2K+3)+2(2K+3)]=(K+1)[K(2K+1)+2K+4K+6]
=K(K+1)(2K+1)+6(K+1)(K+1)
K(K+1)(2K+1)能被6整除,6(K+1)(K+1)也能被6整除
所以当N=K+1时,也能被6整除,
所以n(n+1)(2n+1)能被6整除
n3+(n+1)3+(n+2)3
当N=1时,左边=1+8+27=36,能被9整除
当N=K时,K3+(K+1)3+(K+2)3能被9整除
当N=K+1时,(K+1)3+(K+2)3+(K+3)3=(K+1)3+(K+2)3+K3+9K2+27K+27
=K3+(K+1)3+(K+2)3+9(K2+3K+3)
K3+(K+1)3+(K+2)3能被9整除,9(K2+3K+3)也能被9整除
所以当N=K+1时,也能被9整除
n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除
参考资料：2
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时间：2023-10-16 10:29
(注：所有k后的数时幂指数）
1、证明：当n=1时，n(n+1)(2n+1)=6，能被6整除。
假设当n=k时，等式成立，即k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k能被6整除
则当n=k+1时
(k+1)(k+2)(2k+3)=2k3+9k2+13k+6=(2k3+3k2+k)+6(k2+2k+1)
知(2k3+3k2+k)能被6整除（假设），又因为k为正整数，所以6(k2+2k+1)能被6整除，所以(k+1)(k+2)(2k+3)能被6整除
即当n=k+1时亦成立
所以当n为正整数时，命题恒成立。得证。
2、证明：当n=1时，1+8+27=36，能被9整除
假设当n=k时,n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除，
则当n=k+1时，
（n+1）3+（n+2）3+（n+3）3=(n+1)3+(n+2)3 +n3+9n2+27n+27=[n3+(n+1)3+(n+2)3]+9(n2+3n+3)
因为[n3+(n+1)3+(n+2)3]能被9整除（假设），
又因为n为正整数，所以9(n2+3n+3)能被9整除
因此，当n=k+1时命题亦成立
所以当n为正整数时，命题恒成立。得证。
标准过程就是这样了。
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时间：2023-10-16 10:29
2）设n=k时成立，则k(k+1)(2k+1)能被6整除
当n=k+1时， (k+1)(k+2)(2k+3)=2k^3+9k^2+13k+6
= k(k+1)(2k+1)+6(k^2+2k+1)
= k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2
所以当[(k+1)(k+2)(2k+3)]/6=[k(k+1)(2k+1)]/6+(k+1)^2
即当n= k+1时也成立
得证
2.1）n=1时，36/9=4 成立
2）设n=k是成立，则k^3+(k+1)^3+(k+2)^3能被9整除
当n=k+1时，则(k+1)^3+(k+2)^3+(K+3)^3=3k^3+18k^2+42k+36
= k^3+ (k+1)^3+(k+2)^3+9(k^2+3k+3)
所以[(k+1)^3+(k+2)^3+(K+3)^3]/9=[ k^3+(k+1)^3+(k+2)^3]/9+(k^2+3k+3)
即当n=k+1时，也成立
得证
注：^3代表3次方，以此类推
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时间：2023-10-16 10:30
(2)假设n=k时，命题成立；则当n=k+1时，
(n+1)(n+2)(2n+3)=(n+1)(2n^2+7n+6)=(n+1)[(2n+1)n+(6n+6)]
=n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2
由等式明显可得，(n+1)(n+2)(2n+3)能被6整除，命题也成立。
(3)有上述证明可得，该命题成立。
2.(1)当n=1时，n3+(n+1)3+(n+2)3=36能被9整除，命题成立；
(2)假设n=k时，命题成立；则当n=k+1时，
(n+3)3+(n+1)3+(n+2)3=[n3+(n+1)3+(n+2)3]+9(3n+n^2+3)
由等式明显可得，(n+3)3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除，命题也成立；
(3)有上述证明可得，该命题成立。
