试说明两个连续正偶数的平方差一定能被4整除,但不能被8整除

发布网友发布时间：2024-10-12 15:33

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热心网友时间：2024-10-14 05:45

设两个连续偶数为2n，2n+2，则有
（2n+2）2-（2n）2，
=（2n+2+2n）（2n+2-2n），
=（4n+2）×2，
=4（2n+1），
因为n为整数，
所以4（2n+1）中的2n+1是正奇数，
所以4（2n+1）是4的倍数，不是8的倍数．
故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除，但不能被8整除．

热心网友时间：2024-10-14 05:49

证：
设两连续正偶数从小到大依次为2n，2n+2，(n∈N*)
(2n+2)²-(2n)²
=(2n+2+2n)(2n+2-2n)
=(4n+2)·2
=4(2n+1)
对于任意正自然数n，2n恒为正偶数，2n+1恒为正奇数。
结果为4与一个正奇数的乘积，包含因子4，能被4整除。
正奇数不能被2整除，结果中无法提取出因子8，不能被8整除。

解题思路：
能被4整除但不能被8整除，那么就通过变形，证明能得到因子4，但得不到因子8。