已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1).(1)当a=e时,g(x)=mx2(m>0,x∈R),①求H...
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发布时间：2024-10-12 08:29
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时间：2024-10-29 21:50
所以H（x）=f（x）g（x）的单调增区间为（0，+∞），（-∞，-2）．
②当m＞0时，曲线y=f（x）与曲线y=g（x）的公共点个数即方程ex=mx2根的个数．
由ex=mx2得1m=x2ex设h(x)=x2ex，h′(x)=x(2-x)ex，
所以在R上不间断的函数h(x)=x2ex在（-∞，0）上递减，在（0，2）上递增，在（2，+∞）上递减，
又因为m＞0，h(0)=0，h(2)=4e2，h(4)=16e4，h(-2)=4e2，
所以当h(2)＜1m≤h(-2)时一公共点，解得14e2≤m＜e24，
当0＜1m＜h(4)或1m=h(2)时两公共点，解得m=e24或m＞e416，
当h(4)≤1m＜h(2)时三公共点，解得e24＜m≤e416；
（2）设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2）则kAB=f(x2)-f(x1)x2-x1，kD=f′(x1+x22)，
则kAB-kD=ax2-ax1x2-x1-ax1+x22?lna=ax2+x12x2-x1[ax2-x12-ax1-x22-(x2-x1)lna]，
设x2-x12=t＞0，L（x）=at-a-t-2tlna，则L'（x）=lna（at+a-t-2），
①当a＞1时，at＞1，lna＞0，则L'（t）=（lna）（at+a-t-2）＞0，
所以L（t）在（0，+∞）递增，则L（t）＞L（0）=0，
又因为ax1+x22x2-x1＞0，所以ax1+x_2x2-x1?[ax2-x12-ax1-x22-(x2-x1)lna]＞0，
所以kAB-kD＞0；
②当0＜a＜1时，0＜at＜1，lna＜0
则L'（t）=lna（at+a-t-2）＜0，所以L（t）在（0，+∞）递减，则L（t）＜L（0）=0，
又因为ax2+x12x2-x1＞0，所以ax2+x12x2-x1[ax2-x12-ax1-x22-(x2-x1)lna]＜0，
所以kAB-kD＜0，
综上：当a＞1时kAB＞kD；当0＜a＜1时kAB＜kD．
