抽象代数|笔记整理(9)——域,域的扩张

发布网友发布时间：2024-10-13 02:32

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热心网友时间：2024-10-17 19:31

欢迎来到今天的笔记更新，我们已经走到了第九节的内容，这是迄今为止最长的系列更新了。

在这一节，我们将深入探讨域的相关内容。在之前的笔记中，我们已经简单介绍了域，现在将对这些概念进行更深入的阐述。

定义：域是一个集合，其中包含两个运算：加法和乘法。加法是一个交换群的映射，乘法是一个交换群的映射。满足以下三个条件的集合被称作域：

在加法运算下，集合构成一个群。
在乘法运算下，集合构成一个群。
对于任意的元素，存在乘法逆元。

在域中，加法意义下的单位元为零元，乘法意义下的单位元为一元。

域的概念广泛应用于数学中，如整数域、实数域、复数域等，而虚数域则不是域。

接下来，我们讨论有限域、域的扩张和代数数与超越数的概念。

有限域是指元素有限的域。域的扩张是指存在一个域，包含原域的元素，并且扩展了域的范围。

代数数是域上满足多项式方程的数；超越数则不是。

下面介绍一个性质：如果域上的数是超越数，那么在该域上的同态映射是单射。

我们还讨论了多项式的整环性质，包括主理想域和不可约多项式的概念。不可约多项式与域的极大理想有紧密联系。

定义了由单个元素生成的域扩张，并讨论了域扩张的维数、代数扩张与维数的计算公式。

向量空间视角下的域扩张为我们提供了另一番洞见，定义了域扩张的维数，并讨论了域扩张的性质。

具体来说，域扩张的维数定义为在原域上的向量空间的维数，代数扩张是指所有元素都是代数数的扩张。

我们还展示了域扩张维数计算的公式，并探讨了域扩张维数与多项式不可约性之间的关系。

通过一系列性质和结论，我们深入理解了域扩张和维数的概念。

未来章节，我们将进一步探讨二次扩域的专题。

随着期末考试的临近，这系列笔记也将接近尾声。请期待下一次更新，我将提供习题和答案。希望这次分享能对您有所帮助。感谢您的关注和支持，祝您学习愉快！