5 有限体积法

发布网友发布时间：2024-10-13 08:56

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热心网友时间：2024-10-26 23:44

摘要：有限体积法将偏微分方程转化为线性代数方程组，包含积分单元平衡方程和选择插值函数两步骤。半离散方程基于积分得到单元平衡方程，通过插值函数关联单元面上和内部变量值。在具体步骤中，对流和扩散项的积分被转换为单元面上的积分，源项进行体积分运算。数值积分方法用于计算积分，不同格式的精度由积分点个数和权重函数决定。线性化处理将面通量分解为线性与非线性部分，简化为单元点变量值的函数。通过泰勒级数展开计算变量空间变化，验证有限体积法的二阶精度。平均值近似则简化变量计算，同样获得二阶精度。最后，瞬态问题保留时间积分，中点法则应用于求解。

5.2半离散方程

标量守恒方程在时间项去除后得到稳态格式。在单元C上进行积分，应用散度定理将对流和扩散项的体积分转换为面积分。定义通量为对流和扩散通量之和，计算各面上的通量积分，最终得到基于面和体积分的离散守恒方程。

5.2.1单元面上的通量积分

对流通量和扩散通量分别由公式表示。总通量为两者之和。通过将单元面积分转换为各面上的积分之和，得到对流、扩散和总通量的面积积分形式。数值积分方法计算积分，不同格式精度取决于积分点数和权重函数。

5.2.2 源项的体积分

源项通过高斯积分法则进行体积分运算。图5.3展示不同格式的精度取决于积分点数和权重函数。

5.2.3 基于一个积分点的离散守恒方程

基于单元Cd的半离散稳态有限积分方程简化为基于一个积分点的方程。

5.2.4 通量线性化

面通量分解为线性与非线性部分，线性部分表示为单元面两侧单元中心点处变量值的函数。非线性部分包括剩余部分。面通量方程简化为线性化系数与变量值的函数。

5.3边界条件

考虑给定值（狄利克雷）边界条件，假设扩散作用忽略不计，边界条件表示为已知量。边界通量通过已知量求得，简化为直接计算。

考虑给定通量（纽曼）边界条件，已知量代表单位面积的通量。简化为直接应用。

5.4精度

假设变量在空间中线性变化。通过泰勒级数展开验证有限体积法的二阶空间精度。平均值近似同样获得二阶精度。

5.5瞬态半离散方程

对于非稳态问题，保留时间积分，应用中点法则简化瞬态半离散方程。