算法学习笔记(40): 原根

发布网友发布时间：2024-10-08 13:52

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热心网友时间：2024-11-30 07:58

在数学领域，原根是一个具有特殊性质的整数，它对于模运算具有独特的意义。原根的定义是，当一个整数在模意义下生成的数列周期长度是最短时，称之为模下的原根。

首先，要理解原根，需要从欧拉定理出发。若整数a与模m互质，则a的模m的幂次生成的数列长度为欧拉函数φ(m)。这表明，模m意义下存在一个长度为φ(m)的循环节。然而，并非所有情况下这个循环节的长度都是最小的，即原根的阶。当最小的循环节长度与φ(m)相等时，整数a称作模m的原根。

原根在模m意义下的阶定义为满足a^x ≡ 1 (mod m)的最小正整数x。这意味着，对于原根a，模m意义下的数列在a的幂次取模后，每一个幂次对应的结果是唯一的，且数列的周期长度为φ(m)。显然，原根a的阶必定是φ(m)的因数，当且仅当a为奇素数时，m能表示为φ(m)的形式，a即为模m的原根。

值得注意的是，并非所有整数都具有原根。例如，模8时，任何数的阶都不会是4。判断一个整数是否有原根的关键是它能否表示为特定形式的乘积，即质数的幂或奇素数的乘积。

求一个整数的原根数量并不复杂，如果已知整数a的一个原根，那么对于所有与a互质的整数i，它们在模a意义下的幂次都将是a的原根。这些原根共同构成了模a意义下的所有原根集合，数量等于φ(a)。

发现原根的方法相对直观，可以采用暴力枚举的方式。数学家证明，一个整数如果有原根，则其最小原根的大小通常不大于该整数的大小。因此，直接通过枚举找到第一个原根后，即可轻易获得所有原根。这种方法在时间复杂度上相对较低，实现简单。

求一个整数的所有原根的步骤主要包括寻找一个原根，然后利用与该原根互质的整数生成其他原根。实现这些步骤的代码可以简化为直接枚举与原根互质的整数。

然而，这样得到的原根序列可能需要进一步排序，以确保正确的顺序。若仅需求最小原根，则可以采用更为紧凑的算法，减少内存占用。这种算法通常基于特定性质设计，简化了查找过程，使得求解过程更为高效。