已知不过坐标原点O的直线L与抛物线y2=2x相交于A、B两点,且OA⊥OB,OE...

发布网友发布时间：2024-10-08 16:33

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热心网友时间：2024-11-08 01:33

①令直线ty=x-b（b≠0）与抛物线y2=2x相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（给直线方程给分）…（1分）
由ty＝x?by2＝2x得：y2-2ty-2b=0…（2分）
于是，y1、y2是此方程的两实根，由韦达定理得：y1+y2=2ty1y2=-2b…（3分）
x1x2=（ty1+b）（ty2+b）=t2y1y2+tb（y1+y2）+b2=b2…（4分）
又OA⊥OB?x1x2+y1y2=0…（5分）
∴b2-2b=0，又b≠0，
∴b=2…（6分）
故直线L：ty=x-2过定点C（2，0）…（8分）
②∵O（0，0），C（2，0），OE⊥CE…（9分）
∴点E的轨迹是以线段OC为直径的圆除去点O，…（11分）
故点E的轨迹方程为（x-1）2+y2=1（x≠0）…（12分）
说明：直线L的方程设为y=kx+b又没有讨论k不存在的情况扣（2分）；轨迹方程中没有限制 x≠0扣（1分）．