...斜率为k(k>0)且不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点
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发布时间：2024-10-08 16:33
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时间：2024-11-19 17:26
由 ，消y得： ，
设A 、B ，AB的中点E ，
则由韦达定理得： = ，
即 ， ，
所以中点E的坐标为E ，
因为O、E、D三点在同一直线上，所以k OE =k OD ，
即 ，解得 ，
所以m 2 +k 2 = ，当且仅当k=1时取等号，
即m 2 +k 2 的最小值为2。
（Ⅱ）（ⅰ）证明：由题意知：n＞0，因为直线OD的方程为 ，
所以由 得交点G的纵坐标为 ，
又因为 ， ，且|OG| 2 =|OD|·|OE|，
所以 ，
又由（Ⅰ）知： ，所以解得k=n，
所以直线l的方程为l：y=kx+k，即有l：y=k（x+1），
令x=-1得，y=0，与实数k无关，所以直线l过定点(-1，0)；
（ⅱ）假设点B，G关于x轴对称，则有△ABG的外接圆的圆心在x轴上，
又在线段AB的中垂线上，由（ⅰ）知点G ，
所以点B ，
又因为直线l过定点(-1，0)，
所以直线l的斜率为 ，
又因为 ，所以解得 或6，
又因为 ，所以m 2 =6舍去，即m 2 =1，
此时k=1，m=1，E ，
AB的中垂线为2x+2y+1=0，
圆心坐标为 ，G ，圆半径为 ，
圆的方程为 ；
综上所述，点B，G关于x轴对称，此时△ABG的外接圆的方程为 。
