已知函数f(x)=2lnx-x2+ax(a∈R)(Ⅰ)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切 ...
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发布时间：2024-10-08 16:33
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时间：2024-11-08 01:37
则f′（x）=2x-2x+2，切点坐标为（1，1），
切线斜率k=f′（1）=2，
则函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y-1=2（x-1），
即y=2x-1；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax+m=2lnx-x2+m，
则g′（x）=2x-2x=?2(x+1)(x?1)x，
∵x∈[1e，e]，
∴由g′（x）=0，得x=1，
当1e＜x＜1时，g′（x）＞0，此时函数单调递增，
当1＜x＜e时，g′（x）＜0，此时函数单调递减，
故当x=1时，函数g（x）取得极大值g（1）=m-1，
g（1e）=m-2-1e2，g（e）=m+2-e2，
g（e）-g（1e）=4-e2+1e2＜0，
则g（e）＜g（1e），
∴g（x）=f（x）-ax+m在[1e，e]上最小值为g（e），
要使g（x）=f（x）-ax+m在[1e，e]上有两个零点，
则满足g(1)＝m?1＞0g(1e)＝m?2?1e2≤0，
解得1＜m≤2+1e2，
故实数m的取值范围是（1，2+1e2]
