MATLAB插值函数之三次样条插值

发布网友发布时间：2024-10-08 20:35

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热心网友时间：2024-11-18 13:36

在课程中，针对龙格现象，我们需要在区间[-1,1]上绘制龙格函数曲线，并取11个等距节点完成三次样条插值作业，同时在两端取自然边界条件，绘制样条曲线。作业来源：老师的课后习题。

首先，我们定义自然边界条件下的三次样条函数。接下来，根据这个函数定义三次样条插值函数，然后确定插值点对应的函数值。通过求出参数D,h,A,g,M，我们完成插值点的设置。随后，运行程序，得到插值点与三次样条函数的图像。

结果：通过三次样条插值，我们得到了在自然条件下的插值函数图像。

分析三次样条插值的优缺点。优点包括：解决了图像光滑性问题，因为三次样条插值的收敛性和光滑性较好。在之前作业中使用的牛顿插值和拉格朗日插值方法，容易遇到尖点问题，使得图像不够平滑。此外，三次样条插值具有简便性，不需要过多导数信息，仅需函数值信息即可。

缺点是三次样条插值只能保证各小段曲线在连接点的连续性，而无法保证整条曲线的光滑性。这意味着它不能满足某些工程技术的要求，其光滑性和稳定性有一定的限定条件。

在使用Matlab时，我们遇到的问题及总结如下：学会使用format short语言，它能帮助我们得到四舍五入到四位小数的近似值。在完成作业b时，我们使用了两个函数定义，分别是自然边界条件下的三次样条函数和三次样条函数插点对应的函数值，编码过程中涉及两个脚本文件。如果要使用一个脚本文件，可以尝试在线脚本编码。

通过学习理论知识，我们了解到使用分段多项式样条可以避免龙格库塔现象。增加构成样条的多项式的数目可以减小插值误差，而无需提高多项式的阶次。这可能导致在靠近插值点的端点偏离原始函数，有时甚至加剧龙格现象。

最后，我们使用Matlab自带的插值函数：spline（yk=spline（x,y,xk)）对这道题目进行了二次计算，以验证三次样条插值方法的正确性和有效性。