如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA垂直底面ABCD，AC=2*根号2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC，证明
发布网友
发布时间：2022-05-07 12:00
共4个回答
热心网友
时间：2023-10-30 13:07
第二个问我看不见你的图，你确定把图和所有已知发上来了吗？解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.
设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝2，
PA＝2，PE＝2EC，故
PC＝2，EC＝，FC＝，
从而＝，＝.
因为＝，∠FCE＝∠PCA，所以
△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，
由此知PC⊥EF.
PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.
(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．
因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.
又平面PAB∩平面PBC＝PB，
故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.
BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝＝2.
设D到平面PBC的距离为d.
因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.
设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝＝.
所以PD与平面PBC所成的角为30°.
方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
设C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b>0，则P(0,0,2)，E，B(，－b,0)．
于是＝(2，0，－2)，＝，＝，从而·＝0，
·＝0，故PC⊥BE，PC⊥DE.
又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.
(2)＝(0,0,2)，＝(，－b,0)．
设m＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则m·＝0，m·＝0，
即2z＝0且x－by＝0，
令x＝b，则m＝(b，，0)．
设n＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，则
n·＝0，n·＝0，
即2p－2r＝0且＋bq＋r＝0，
令p＝1，则r＝，q＝－，n＝.
因为面PAB⊥面PBC，故m·n＝0，即b－＝0，故b＝，于是n＝(1，－1，)，＝(－，－，2)，
cos〈n，〉＝＝，
〈n，〉＝60°.
因为PD与平面PBC所成的角和〈n，〉互余，
故PD与平面PBC所成的角为30°.
G6 三垂线定理
评论|47
2013-07-19 08:23热心网友
1)记AC，BD交点为O。连接EO
三角形CEO相似于PCA,OE⊥PC,易证PC⊥BD,就有PC垂直于平面BDE.
（2）作AG⊥PB，G为垂足，因为二面角A－PC－B为90度，所以平面PAB垂直平面PBC．PAB交PBC于PB，故AG⊥平面PBC．平面PAB内，BC⊥相交直线PA，PG，所以BC⊥平面PAB，BC⊥AB，有正方形ABCD，AD＝2，AG＝根号2，PD＝2×根号2。DE⊥PC（由一得），有DE／／AG，，DE⊥平面PBC，sin角PDE＝1／2，所以PD与平面PBC所成角为30度。
评论|323
检举|2012-08-14 16:42热心网友最快回答
1:因PA⊥面ABCD。所PA⊥AC,PA⊥BD,AC是PC在面ABCD的投影，因菱形ABCD，所AC⊥BD。所PC⊥BD。因AC=2*根号2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC，所易算出，（F为AC与BD的交点）CF=根号2,CE=2/3*根号3，EF=根号6/3。由勾股定理，FE⊥EC。因BD,FE交与F，所PC垂直平面BED。
第二个问我看不见你的图，你确定把图和所有已知发上来了吗？
热心网友
时间：2023-10-30 13:07
设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝2，
PA＝2，PE＝2EC，故
PC＝2，EC＝，FC＝，
从而＝，＝.
因为＝，∠FCE＝∠PCA，所以
△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，
由此知PC⊥EF.
PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.
(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．
因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.
又平面PAB∩平面PBC＝PB，
故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.
BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝＝2.
设D到平面PBC的距离为d.
因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.
设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝＝.
所以PD与平面PBC所成的角为30°.
方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
设C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b>0，则P(0,0,2)，E，B(，－b,0)．
于是＝(2，0，－2)，＝，＝，从而·＝0，
·＝0，故PC⊥BE，PC⊥DE.
又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.
(2)＝(0,0,2)，＝(，－b,0)．
设m＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则m·＝0，m·＝0，
即2z＝0且x－by＝0，
令x＝b，则m＝(b，，0)．
设n＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，则
n·＝0，n·＝0，
即2p－2r＝0且＋bq＋r＝0，
令p＝1，则r＝，q＝－，n＝.
因为面PAB⊥面PBC，故m·n＝0，即b－＝0，故b＝，于是n＝(1，－1，)，＝(－，－，2)，
cos〈n，〉＝＝，
〈n，〉＝60°.
因为PD与平面PBC所成的角和〈n，〉互余，
故PD与平面PBC所成的角为30°.
G6 三垂线定理
热心网友
时间：2023-10-30 13:08
三角形CEO相似于PCA,OE⊥PC,易证PC⊥BD,就有PC垂直于平面BDE.
（2）作AG⊥PB，G为垂足，因为二面角A－PC－B为90度，所以平面PAB垂直平面PBC．PAB交PBC于PB，故AG⊥平面PBC．平面PAB内，BC⊥相交直线PA，PG，所以BC⊥平面PAB，BC⊥AB，有正方形ABCD，AD＝2，AG＝根号2，PD＝2×根号2。DE⊥PC（由一得），有DE／／AG，，DE⊥平面PBC，sin角PDE＝1／2，所以PD与平面PBC所成角为30度。
热心网友
时间：2023-10-30 13:08
第二个问我看不见你的图，你确定把图和所有已知发上来了吗？
热心网友
时间：2023-10-30 13:07
第二个问我看不见你的图，你确定把图和所有已知发上来了吗？解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.
设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝2，
PA＝2，PE＝2EC，故
PC＝2，EC＝，FC＝，
从而＝，＝.
因为＝，∠FCE＝∠PCA，所以
△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，
由此知PC⊥EF.
PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.
(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．
因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.
又平面PAB∩平面PBC＝PB，
故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.
BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝＝2.
设D到平面PBC的距离为d.
因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.
设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝＝.
所以PD与平面PBC所成的角为30°.
方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
设C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b>0，则P(0,0,2)，E，B(，－b,0)．
于是＝(2，0，－2)，＝，＝，从而·＝0，
·＝0，故PC⊥BE，PC⊥DE.
又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.
(2)＝(0,0,2)，＝(，－b,0)．
设m＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则m·＝0，m·＝0，
即2z＝0且x－by＝0，
令x＝b，则m＝(b，，0)．
设n＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，则
n·＝0，n·＝0，
即2p－2r＝0且＋bq＋r＝0，
令p＝1，则r＝，q＝－，n＝.
因为面PAB⊥面PBC，故m·n＝0，即b－＝0，故b＝，于是n＝(1，－1，)，＝(－，－，2)，
cos〈n，〉＝＝，
〈n，〉＝60°.
因为PD与平面PBC所成的角和〈n，〉互余，
故PD与平面PBC所成的角为30°.
G6 三垂线定理
评论|47
2013-07-19 08:23热心网友
1)记AC，BD交点为O。连接EO
三角形CEO相似于PCA,OE⊥PC,易证PC⊥BD,就有PC垂直于平面BDE.
（2）作AG⊥PB，G为垂足，因为二面角A－PC－B为90度，所以平面PAB垂直平面PBC．PAB交PBC于PB，故AG⊥平面PBC．平面PAB内，BC⊥相交直线PA，PG，所以BC⊥平面PAB，BC⊥AB，有正方形ABCD，AD＝2，AG＝根号2，PD＝2×根号2。DE⊥PC（由一得），有DE／／AG，，DE⊥平面PBC，sin角PDE＝1／2，所以PD与平面PBC所成角为30度。
评论|323
检举|2012-08-14 16:42热心网友最快回答
1:因PA⊥面ABCD。所PA⊥AC,PA⊥BD,AC是PC在面ABCD的投影，因菱形ABCD，所AC⊥BD。所PC⊥BD。因AC=2*根号2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC，所易算出，（F为AC与BD的交点）CF=根号2,CE=2/3*根号3，EF=根号6/3。由勾股定理，FE⊥EC。因BD,FE交与F，所PC垂直平面BED。
第二个问我看不见你的图，你确定把图和所有已知发上来了吗？
热心网友
时间：2023-10-30 13:07
设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝2，
PA＝2，PE＝2EC，故
PC＝2，EC＝，FC＝，
从而＝，＝.
因为＝，∠FCE＝∠PCA，所以
△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，
由此知PC⊥EF.
PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.
(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．
因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.
又平面PAB∩平面PBC＝PB，
故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.
BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝＝2.
设D到平面PBC的距离为d.
因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.
设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝＝.
所以PD与平面PBC所成的角为30°.
方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
设C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b>0，则P(0,0,2)，E，B(，－b,0)．
于是＝(2，0，－2)，＝，＝，从而·＝0，
·＝0，故PC⊥BE，PC⊥DE.
又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.
(2)＝(0,0,2)，＝(，－b,0)．
设m＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则m·＝0，m·＝0，
即2z＝0且x－by＝0，
令x＝b，则m＝(b，，0)．
设n＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，则
n·＝0，n·＝0，
即2p－2r＝0且＋bq＋r＝0，
令p＝1，则r＝，q＝－，n＝.
因为面PAB⊥面PBC，故m·n＝0，即b－＝0，故b＝，于是n＝(1，－1，)，＝(－，－，2)，
cos〈n，〉＝＝，
〈n，〉＝60°.
因为PD与平面PBC所成的角和〈n，〉互余，
故PD与平面PBC所成的角为30°.
G6 三垂线定理
热心网友
时间：2023-10-30 13:08
三角形CEO相似于PCA,OE⊥PC,易证PC⊥BD,就有PC垂直于平面BDE.
（2）作AG⊥PB，G为垂足，因为二面角A－PC－B为90度，所以平面PAB垂直平面PBC．PAB交PBC于PB，故AG⊥平面PBC．平面PAB内，BC⊥相交直线PA，PG，所以BC⊥平面PAB，BC⊥AB，有正方形ABCD，AD＝2，AG＝根号2，PD＝2×根号2。DE⊥PC（由一得），有DE／／AG，，DE⊥平面PBC，sin角PDE＝1／2，所以PD与平面PBC所成角为30度。
热心网友
时间：2023-10-30 13:08
第二个问我看不见你的图，你确定把图和所有已知发上来了吗？
