傅里叶级数 和一微分问题(高数)

发布网友 发布时间：2022-05-07 11:21

我来回答

共2个回答

热心网友 时间：2023-10-28 21:59

1.
傅里叶展开,
f(x)=a0/2+sum(n=1,无穷大) (an*cos(nx)+bn*sin(nx))
an=(1/pi)积分(-pi,pi) f(x)cos(nx)dx
bn=(1/pi)积分(-pi,pi) f(x)sin(nx)dx
m不等于n,积分 下限=-pi。 上限=pi,
三角函数正交性:
积分 sin(mx)cos(nx)dx=(1/2)积分 {(sin[(m+n)x]-sin[(m-n)x]}dx
=0
积分 sin(mx)sin(nx)dx
=(1/2)积分 {(cos[(m-n)x]-cos[(m+n)x]}dx=0

积分 sin(nx)sin(nx)dx=积分{(1-cos(2nx))/2}=pi
积分 sin(nx)cos(nx)dx=积分sinx d(sinx)=0
==> f（x）=sin ax
=a0/2+sum(n=1,无穷大) (an*cos(nx)+bn*sin(nx))
=sin nx,
n=a, -pi<=x<=pi
2.
积分 (0,2pi)sin2x dx=积分 (0,2pi) 2sinx cosx dx
=积分 (0,2pi)2sinx d(sinx)=0
积分 (0,2pi)[sin2x]^2 dx=积分 (0,2pi)dx(1-cos(4x))/2=0
积分 (0,2pi)[sin2x]^3 dx=0
积分 (0,2pi)[sin2x]^4 dx=0

积分 (0,2pi)dx ([1+{sin2x}/2]^2 * {1+[sin2x/2]^2)
=积分 (0,2pi)dx ==>
积分 (0,2pi) dx{1/[1+{sin2x}^/2]^2}
=积分 (0,2pi) dx {1+[sin2x/2]^2)
=积分 (0,2pi) dx{1+(1/8)(1-cos4x)}=(9/4)pi

热心网友 时间：2023-10-28 21:59

（1）{1，sinnx，cosnx}，n取正然数，构成〔-pi,pi〕上正交完备系，当a为自然数时，sinax本身就是基，和其他基正交，用此完备系的基展开，自然就得到f(x)=sinnx。
这里[a,b]上内积空间定义为〔f(x),g(x)〕＝Integrate[f(x)g(x),｛x,a,b｝].正交归一完备基为{Pn(x)},则〔Pn(x),Pm(x)〕=0(当m!=n),=1(当m=n)。这样任何一个函数就可以展开为f(x)=[f(x),Pn(x)]Pn(x),这里对所有n求和。如果不是归一的基，系数〔f(x),Pn(x)〕需除以〔Pn(x),Pn(x)〕.
（2）如果了解到1和sin2x正交性,或者从图像也可以知道，sin2x在〔0,2pi〕积分值为零，立即可以将积分号内化为1 1/4sin2x^2＝1 1/8(1-cos4x)，再用一次为9/8,这样立即可得积分值为9/4pi

参考资料：如果您的回答是从其他地方引用，请表明出处

热心网友 时间：2023-10-28 21:59

1.
傅里叶展开,
f(x)=a0/2+sum(n=1,无穷大) (an*cos(nx)+bn*sin(nx))
an=(1/pi)积分(-pi,pi) f(x)cos(nx)dx
bn=(1/pi)积分(-pi,pi) f(x)sin(nx)dx
m不等于n,积分 下限=-pi。 上限=pi,
三角函数正交性:
积分 sin(mx)cos(nx)dx=(1/2)积分 {(sin[(m+n)x]-sin[(m-n)x]}dx
=0
积分 sin(mx)sin(nx)dx
=(1/2)积分 {(cos[(m-n)x]-cos[(m+n)x]}dx=0

积分 sin(nx)sin(nx)dx=积分{(1-cos(2nx))/2}=pi
积分 sin(nx)cos(nx)dx=积分sinx d(sinx)=0
==> f（x）=sin ax
=a0/2+sum(n=1,无穷大) (an*cos(nx)+bn*sin(nx))
=sin nx,
n=a, -pi<=x<=pi
2.
积分 (0,2pi)sin2x dx=积分 (0,2pi) 2sinx cosx dx
=积分 (0,2pi)2sinx d(sinx)=0
积分 (0,2pi)[sin2x]^2 dx=积分 (0,2pi)dx(1-cos(4x))/2=0
积分 (0,2pi)[sin2x]^3 dx=0
积分 (0,2pi)[sin2x]^4 dx=0

积分 (0,2pi)dx ([1+{sin2x}/2]^2 * {1+[sin2x/2]^2)
=积分 (0,2pi)dx ==>
积分 (0,2pi) dx{1/[1+{sin2x}^/2]^2}
=积分 (0,2pi) dx {1+[sin2x/2]^2)
=积分 (0,2pi) dx{1+(1/8)(1-cos4x)}=(9/4)pi

热心网友 时间：2023-10-28 21:59

（1）{1，sinnx，cosnx}，n取正然数，构成〔-pi,pi〕上正交完备系，当a为自然数时，sinax本身就是基，和其他基正交，用此完备系的基展开，自然就得到f(x)=sinnx。
这里[a,b]上内积空间定义为〔f(x),g(x)〕＝Integrate[f(x)g(x),｛x,a,b｝].正交归一完备基为{Pn(x)},则〔Pn(x),Pm(x)〕=0(当m!=n),=1(当m=n)。这样任何一个函数就可以展开为f(x)=[f(x),Pn(x)]Pn(x),这里对所有n求和。如果不是归一的基，系数〔f(x),Pn(x)〕需除以〔Pn(x),Pn(x)〕.
（2）如果了解到1和sin2x正交性,或者从图像也可以知道，sin2x在〔0,2pi〕积分值为零，立即可以将积分号内化为1 1/4sin2x^2＝1 1/8(1-cos4x)，再用一次为9/8,这样立即可得积分值为9/4pi

参考资料：如果您的回答是从其他地方引用，请表明出处

热心网友 时间：2023-10-28 21:59

1.
傅里叶展开,
f(x)=a0/2+sum(n=1,无穷大) (an*cos(nx)+bn*sin(nx))
an=(1/pi)积分(-pi,pi) f(x)cos(nx)dx
bn=(1/pi)积分(-pi,pi) f(x)sin(nx)dx
m不等于n,积分 下限=-pi。 上限=pi,
三角函数正交性:
积分 sin(mx)cos(nx)dx=(1/2)积分 {(sin[(m+n)x]-sin[(m-n)x]}dx
=0
积分 sin(mx)sin(nx)dx
=(1/2)积分 {(cos[(m-n)x]-cos[(m+n)x]}dx=0

积分 sin(nx)sin(nx)dx=积分{(1-cos(2nx))/2}=pi
积分 sin(nx)cos(nx)dx=积分sinx d(sinx)=0
==> f（x）=sin ax
=a0/2+sum(n=1,无穷大) (an*cos(nx)+bn*sin(nx))
=sin nx,
n=a, -pi<=x<=pi
2.
积分 (0,2pi)sin2x dx=积分 (0,2pi) 2sinx cosx dx
=积分 (0,2pi)2sinx d(sinx)=0
积分 (0,2pi)[sin2x]^2 dx=积分 (0,2pi)dx(1-cos(4x))/2=0
积分 (0,2pi)[sin2x]^3 dx=0
积分 (0,2pi)[sin2x]^4 dx=0

积分 (0,2pi)dx ([1+{sin2x}/2]^2 * {1+[sin2x/2]^2)
=积分 (0,2pi)dx ==>
积分 (0,2pi) dx{1/[1+{sin2x}^/2]^2}
=积分 (0,2pi) dx {1+[sin2x/2]^2)
=积分 (0,2pi) dx{1+(1/8)(1-cos4x)}=(9/4)pi

热心网友 时间：2023-10-28 21:59

（1）{1，sinnx，cosnx}，n取正然数，构成〔-pi,pi〕上正交完备系，当a为自然数时，sinax本身就是基，和其他基正交，用此完备系的基展开，自然就得到f(x)=sinnx。
这里[a,b]上内积空间定义为〔f(x),g(x)〕＝Integrate[f(x)g(x),｛x,a,b｝].正交归一完备基为{Pn(x)},则〔Pn(x),Pm(x)〕=0(当m!=n),=1(当m=n)。这样任何一个函数就可以展开为f(x)=[f(x),Pn(x)]Pn(x),这里对所有n求和。如果不是归一的基，系数〔f(x),Pn(x)〕需除以〔Pn(x),Pn(x)〕.
（2）如果了解到1和sin2x正交性,或者从图像也可以知道，sin2x在〔0,2pi〕积分值为零，立即可以将积分号内化为1 1/4sin2x^2＝1 1/8(1-cos4x)，再用一次为9/8,这样立即可得积分值为9/4pi

参考资料：如果您的回答是从其他地方引用，请表明出处