已知抛物线C1:y=x2+2x和C:y=-x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是...

发布网友发布时间：2024-10-11 22:58

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热心网友时间：2024-10-15 02:28

（Ⅰ）函数y=x2+2x的导数y′=2x+2，
曲线C1在点P（x1，x12+2x1）的切线方程是：
y-（x12+2x1）=（2x1+2）（x-x1），
即y=（2x1+2）x-x12①
函数y=-x2+a的导数y′=-2x，
曲线C2在点Q（x2，-x22+a）的切线方程是
即y-（-x22+a）=-2x2（x-x2）．
y=-2x2x+x22+a．②
如果直线l是过P和Q的公切线，
则①式和②式都是l的方程，
x1+1=-x2，所以-x12=x22+a．
消去x2得方程2x12+2x1+1+a=0．
若判别式△=4-4×2（1+a）=0时，
即a=-12时解得x1=-12，此时点P与Q重合．
即当a=-12时C1和C2有且仅有一条公切线，
由①得公切线方程为y=x-14．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知．
当a＜-12时C1和C2有两条公切线
设一条公切线上切点为：P（x1，y1），Q（x2，y2）．
其中P在C1上，Q在C2上，则有x1+x2=-1，
y1+y2=x12+2x1+（-x22+a）=x12+2x1-（x1+1）2+a=-1+a．
线段PQ的中点为(?12，?1+a2)．
同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是(?12，?1+a2)
所以公切线段PQ和P′Q′互相平分．