求概率密度函数

发布网友发布时间：2024-10-11 20:26

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热心网友时间：2024-10-15 05:40

设随机变量的概率密度函数为f(x)= ax+b，其中f(x)必须非负，即f(x)≥0。这是由于概率密度函数代表的是随机变量在某区间内的概率，概率值必须在0与1之间，故函数值需非负。

根据积分性质，概率密度函数在整个实数域上的积分等于1，即∫f(x)dx=1。令c为积分常数，则有c=1。因此，积分后得到的函数为(cx)|≤1，即c=0。

将概率密度函数f(x)= ax+b代入积分公式，得到∫(ax+b)dx=(a/2)x^2+bx。令此式等于1，得到a/2+b=1。同时，考虑条件1，F(0.5)=3/4，即∫(ax+b)dx从0到0.5的积分等于3/4。计算得到a/8+b/2=3/4。联立这两个方程，求得a=-2，b=2，c=0。

条件1充分。考虑条件2，期望EX=1/3，即∫x(ax+b)dx的积分等于1/3。计算得到2a+3b=2。联立条件1和条件2中的方程，再次求得a=-2，b=2，c=0。

条件2同样充分。综上，得到a=-2，b=2，c=0。分布函数F(x)在x=1处连续，因此左极限A=F(1)=1。