设可导函数y=f(x)由方程x3—3xy2+2y3=32所确定,求f(x)的极值
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发布时间：2024-10-04 15:07
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时间：2024-10-17 20:33
=3x^2-3(y^2+2xyy'+6y^2 y')
=3x^2-3y^2-6xyy'-18y^2 y'
即3x^2-3y^2-6xyy'-18y^2 y'=0.
x^2-y^2-2xyy'-6y^2 y'=0.
当y'=0时,得到x^2=y^2.
将x=±y代入原隐式方程x3—3xy2+2y3=32得:
±y^3—±3y^3+2y^3=32.
即±2y^3+2y^3=32.
解得:y=2.
此时x=±2.
对x^2-y^2-2xyy'-6y^2 y' =0.再求导:
2x-2yy'-2[yy'+x((y')^2+y y'']-6[2y(y')^2+y^2 y'']=0
将(-2,2)和(2,2)以及y'=0代入上式得:
对于(-2,2):求得y''=-1/7<0,则y=f（-2）=2是极大值;
对于(2,2):求得y''=1/7>0,则y=f（2）=2是极小值。
