最优化1: 凸集和凸函数
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发布时间：2024-10-03 18:43
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时间：2024-10-18 14:42
凸集在凸函数理论中起着关键作用，它们定义了空间中一些特定集合的几何特性。以下是关于凸集和相关概念的直观描述：
1. 凸集是指在欧氏空间或仿射空间中，满足对于任意两点以及任意实数λ，它们的线性组合也在集合内部的集合。例如，超平面和半空间都是凸集，由非平凡线性不等式定义，且所有可能的线性组合都在它们的边界之外。
2. 凸锥则是指满足线性组合的集合，若它是锥且是凸集，即为凸锥。最简单的例子是单个点或整个空间。
3. 凸集的保凸运算是构建新凸集的重要工具。例如，交集和仿射函数的应用：如果多个集合都是凸的，它们的交集仍是凸的；仿射函数可以保持凸性，使得函数图像的凸性得以保留。
4. 分离与支撑超平面的概念用于描述不相交凸集间的分离。超平面分离定理确保了存在一个超平面可以区分两个不重叠的凸集，而支撑超平面则描述了集合边缘上点的切线特性。
5. Farkas定理是关于线性不等式方程组的理论，它说明了这些方程要么有解，要么无解，且具有几何上的直观解释，对优化问题的对偶性分析至关重要。
6. 凸函数是函数类，它们的图像满足在任意两点间连线都在函数图像上方的性质。一阶和二阶条件提供判别准则，比如一阶条件涉及函数在某点的切线，二阶条件则涉及曲率的正定性。
7. 凸函数的保凸运算包括非负加权求和和复合映射，后者涉及多个函数的组合，可以保持凸性。逐点最大和逐点上确界的性质展示了如何通过组合凸函数得到新的凸函数。
8. 凸函数的应用广泛，如函数投影和透视函数，它们在优化问题中扮演着核心角色，反映了函数在特定方向上的行为。
总之，凸集和凸函数是优化理论中的基石，理解它们的定义、性质和运算对于解决实际问题至关重要。
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时间：2024-10-18 14:45
凸集在凸函数理论中起着关键作用，它们定义了空间中一些特定集合的几何特性。以下是关于凸集和相关概念的直观描述：
1. 凸集是指在欧氏空间或仿射空间中，满足对于任意两点以及任意实数λ，它们的线性组合也在集合内部的集合。例如，超平面和半空间都是凸集，由非平凡线性不等式定义，且所有可能的线性组合都在它们的边界之外。
2. 凸锥则是指满足线性组合的集合，若它是锥且是凸集，即为凸锥。最简单的例子是单个点或整个空间。
3. 凸集的保凸运算是构建新凸集的重要工具。例如，交集和仿射函数的应用：如果多个集合都是凸的，它们的交集仍是凸的；仿射函数可以保持凸性，使得函数图像的凸性得以保留。
4. 分离与支撑超平面的概念用于描述不相交凸集间的分离。超平面分离定理确保了存在一个超平面可以区分两个不重叠的凸集，而支撑超平面则描述了集合边缘上点的切线特性。
5. Farkas定理是关于线性不等式方程组的理论，它说明了这些方程要么有解，要么无解，且具有几何上的直观解释，对优化问题的对偶性分析至关重要。
6. 凸函数是函数类，它们的图像满足在任意两点间连线都在函数图像上方的性质。一阶和二阶条件提供判别准则，比如一阶条件涉及函数在某点的切线，二阶条件则涉及曲率的正定性。
7. 凸函数的保凸运算包括非负加权求和和复合映射，后者涉及多个函数的组合，可以保持凸性。逐点最大和逐点上确界的性质展示了如何通过组合凸函数得到新的凸函数。
8. 凸函数的应用广泛，如函数投影和透视函数，它们在优化问题中扮演着核心角色，反映了函数在特定方向上的行为。
总之，凸集和凸函数是优化理论中的基石，理解它们的定义、性质和运算对于解决实际问题至关重要。
