已知函数f(x)=lg(mx-2x)(0<m<1).(1)当m=12时,求f(x)的定义域;(2)试...
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发布时间：2024-10-04 01:42
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时间：2024-11-12 18:41
∴(12)x?2x＞0，即2-x＞2x，
∴-x＞x，即x＜0，
∴函数f（x）的定义域为{x|x＜0}；
（2）函数f（x）在区间（-∞，0）上是减函数．
证明：设x2＜0，x1＜0，且x2＞x1，
∴x2-x1＞0，
令g（x）=mx-2x，
∴g（x2）-g（x1）=mx2-2x2-mx1+2x1=mx2-mx1+2x1-2x2，
∵0＜m＜1，x1＜x2＜0，
∴mx2-mx1＜0，2x1-2x2＜0，
∴g（x2）-g（x1）＜0，即g（x2）＜g（x1），
∴lg（g（x2））＜lg（g（x1）），
∴lg（g（x2））-lg（g（x1））＜0，
∴f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数；
（3）由（2）可知，f（x）在（-∞，0）上是减函数，
∴f（x）在（-∞，-1]上是单调递减函数，
∴f（x）在（-∞，-1]上的最小值为f（-1）=lg（m-1-2-1），
∵f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，即f（x）＞0在（-∞，-1]上恒成立，
∴f（x）min＞0，
∴f（-1）=lg（m-1-2-1）＞0，即m-1-2-1＞1，
∴1m＞1+12＝32，
∵0＜m＜1，
∴0＜m＜23，
故m的取值范围为0＜m＜23．
