在三角形ABC中,∠C=90°,∠CAD=30°,AC=BC=AD,求证CD=BD

发布网友发布时间：2024-10-04 12:25

共3个回答

热心网友时间：2024-10-26 11:40

少年这个题我总感觉出题人好变态
下面是证明步骤：
过C做AD的垂线CE 过D做BC的垂线DF
然后根据已知数据知道∠ACE=60°，∠ECD=15°，∠DCF=15°（根据AD=AC，且∠CAD=30°，∠C=90°可以推断得出）
然后可以知道∠DEC=∠DFC=90°，加上一条公共边CD可以根据全等三角形判断依据AAS知道两个三角形全等
所以CE=CF
又因为∠CAD=30°，在直角三角形CAE中，30°所对的边是斜边的一半，所以CE=CF=1/2AC=1/2BC
由此可以推断DF为CB直线的中垂线
又因为D为中垂线上的点，到直线的两端的距离相等，所以CD=BD
命题得证

希望对你有用很多年没有碰过数学了。。。

热心网友时间：2024-10-26 11:39

∵
AC=BC，得⊿ABC是等腰三角形，由于∠C=90°，两底角都为45°；
AC=AD，得⊿ACD是等腰三角形，由于∠CAD=30°，所以∠ACD=∠ADC=75°
∠DCB=∠DAB=15°
过D点做DE∥AC交AB与E点，∠ADE=∠DAC=30°
证明得⊿ADE与⊿ABD相似，可知∠ABD=∠ADE=30°
则∠DBC=∠ABC-∠ABD=45°-30°=15°=∠DCB
⊿DBC为等腰三角形
∴BD=DC
(图稍后附上）

热心网友时间：2024-10-26 11:38

证明：如图，过C作CE⊥AD于E，过D作DF⊥BC于F．
∵∠CAD=30°，∴∠ACE=60°，且CE=
1
2
AC，
∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°，
∴∠FCD=90°-∠ACD=15°，∠ECD=∠ACD-∠ACE=15°，
在△CED和△CFD中
∠CED=∠CFD∠ECD=∠FCDCD=CD
，
∴△CED≌△CFD，
∴CF=CE=
1
2
AC=
1
2
BC，
∴CF=BF．
∴Rt△CDF≌Rt△BDF，
∴BD=CD．