在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,根号2)且斜率为k的直线l与椭圆x^2/...
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发布时间：2024-10-02 16:28
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时间：2024-10-12 11:19
将直线方程代入椭圆方程中： x^2/2+(kx+√2)^2=1.
x^2/2+k^2x^2+2√2kx+2=1.
去分母，x^2+2k^2x^2+4√2kx+4-2=0.
(2k^2+1)x^2+4√2kx+2=0. ----- (1)
判别式△=(4√2k)^2-4*(2k^2+1)*2.
=32k^2--16k^2-8.
=16k^2-8.
∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴判别式△>0，即：
16k2-8>0,
2k^2>1.
k^2>1/2.
|k|>√2/2.
∴k>√2/2, k<-√2/2.
∴k值的取值范围为：(-∞,-√2/2)∪(√2/2,+∞).
设直线与椭圆的两个交点坐标为：P( x1,y1), Q(x2,y2)。
则向量OP+向量OQ=(x1+x2, y1+y2).
对方程(1)应用韦达定理：
x1+x2=-4√2k/(1+2k^2)；----(2)
又由直线方程：y1=kx1+√2, y2=kx2+√2.∴
y1+y2=k(x1+x2)+2√2. ----(3)
椭圆与坐标轴的正半轴的交点A(√2,0), B(0,1).
向量AB=(-√2,1),
∵向量OP+向量OP与向量AB共线，∴(x1+x2)*1-(-√2)(y1+y2)=0. ≠
即，x1+x2=-√2(y1+y2). ------(4)
将(2),(3)代入(4)中，-4√2k/(1+2k^2)=-√2[k(-4√2k)/(1+2k^2)]+2√2.
化简，得：√2k=1, k=√2/2.
但前面求得k<-√2/2, 或k>√2/2, 即k≠√2/2,
∴没有符合题设要求的k值。即不存在常数k,使得向量OP+向量OQ与向量AB共线。
