在矩形ABCD中,已知AB=1,BC=2,角ABC的平分线交AD于点F,E为BC的中点,连 ...
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发布时间:2024-10-02 09:56
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热心网友
时间:2024-10-13 19:03
(1) 因为B为90度,则角ABF为45度,所以三角形ABF为等腰直角三角形
所以AF=AB=1,BF=V2
(2)因为AF=AB=1=1/2AD
且E是BC中点,所以BE=1=AB=AF=EF,
可得ABEF为菱形
又知角A,角B是90度
所以四边形ABEF是正方形
(3)BF不是已经求出来了吗?
v2/4 4分之根号2
因为N为对称中心,所以N为EF中点,EN=1/2
过P点做PG垂直于AB,做PS垂直于BC,
因为角ABF=角EBF
所以PG=PS=x
在直角三角形AFN中,可求得AN的平方为5/4
在直角三角形APG中,AP的平方=(1-x)平方+x平方
过N做NR垂直于EF,则在直角三角形NRP中,
PR=1-x NR=1/2-x
PN平方=(1-x)平方+(1/2-x)平方
因为角APN=90度
所以AN平方=AP平方+PN平方
即:5/4=(1-x)平方+x平方+(1-x)平方+(1/2-x)平方
解得x=1 或x=1/4, 因为x<1,所以x=1/4
BP平方=BG平方+BS平方=1/4平方+1/4平方
BP=V2/4 4分之根号2
或
∠ABC=90度,其平分线BF交AD于点F,则∠ABF=∠FBC=45度,
所以,AF=AB=1,而BE=BC/2=1,所以,四边形AABEF是正方形。
N是矩形ABCD的中心,即AC与BD的交点,也是EF的中点。
问题转化一个正方形的问题了。BF=根号2。
过点P作BC的平行线,交AB于G,交EF于H。四边形BEHG也是矩形,BG=PG=EH。
设BG=X,于是,PG=EH=X,AG=1-X,PH=1-X,NH=1/2-X。
因为∠APN=90°,所以,∠HPN+∠APG=90°,而∠GAP+∠APG=90°,
所以,∠HPN=∠GAP,所以,三角形AGP相似三角形PHN,
所以,AG:PH=PG:NH,由于AG=1-X=PH,所以,PG=NH,即X=1/2-X,X=1/4。
这时,BP=1/4根号2。
热心网友
时间:2024-10-13 19:07
这个点是存在的。以AN为直径画弧交BF于一点,这点就是P。
显然,直径所张的圆周角是直角。∴∠APN=90°。
∵ABCD是矩形,∴∠BAF=∠ABE=90°,而∠ABF=∠ABC/2=90°/2=45,
∴∠AFB=45°,∴AF=AB=BE,∴ABEF是正方形,∴N是EF的中点。
由AF=AB=1,NF=EF/2=AB/2=1/2,∴AN=√(1+1/4)=√5/2。
由AP⊥NP,AF⊥NF,得:A、P、N、F共圆,∴∠PNA=∠AFB=45°,∴PA=AN/√2=√10/4。
过P作PQ⊥AB交AB于Q,容易证得:PQ=BQ=BP/√2,∴AQ=AB-BQ=1-BP/√2。
显然,有:AQ^2+PQ^2=PA^2,∴(1-BP/√2)^2+(BP/√2)^2=(√10/4)^2
∴16(BP/√2)^2-16(BP/√2)+3=0,∴[4(BP/√2)-3][4(BP/√2)-1]=0
∴4(BP/√2)-3=0,或4(BP/√2)-1=0
∴BP=3√2/4,或BP=√2/4。
当BP=3√2/4时,容易验证此时∠APN>90°,显然是不合理的,所以要舍去。
于是:当BP=√2/4时,∠APN=90°。