在矩形ABCD中,已知AB=1,BC=2,角ABC的平分线交AD于点F,E为BC的中点,连 ...
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发布时间：2024-10-02 09:56
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热心网友
时间：2024-10-13 19:03
所以AF=AB=1，BF=V2
（2）因为AF=AB=1=1/2AD
且E是BC中点，所以BE=1=AB=AF=EF，
可得ABEF为菱形
又知角A，角B是90度
所以四边形ABEF是正方形
（3）BF不是已经求出来了吗？
v2/4 4分之根号2
因为N为对称中心,所以N为EF中点,EN=1/2
过P点做PG垂直于AB,做PS垂直于BC,
因为角ABF=角EBF
所以PG=PS=x
在直角三角形AFN中,可求得AN的平方为5/4
在直角三角形APG中,AP的平方=(1-x)平方+x平方
过N做NR垂直于EF,则在直角三角形NRP中,
PR=1-x NR=1/2-x
PN平方=(1-x)平方+(1/2-x)平方
因为角APN=90度
所以AN平方=AP平方+PN平方
即:5/4=(1-x)平方+x平方+(1-x)平方+(1/2-x)平方
解得x=1 或x=1/4, 因为x<1,所以x=1/4
BP平方=BG平方+BS平方=1/4平方+1/4平方
BP=V2/4 4分之根号2
或
∠ABC=90度，其平分线BF交AD于点F，则∠ABF=∠FBC=45度，
所以，AF=AB=1，而BE=BC/2=1，所以，四边形AABEF是正方形。
N是矩形ABCD的中心，即AC与BD的交点，也是EF的中点。
问题转化一个正方形的问题了。BF=根号2。
过点P作BC的平行线，交AB于G，交EF于H。四边形BEHG也是矩形，BG=PG=EH。
设BG=X，于是，PG=EH=X，AG=1-X，PH=1-X，NH=1/2-X。
因为∠APN=90°，所以，∠HPN+∠APG=90°，而∠GAP+∠APG=90°，
所以，∠HPN=∠GAP，所以，三角形AGP相似三角形PHN，
所以，AG：PH=PG：NH，由于AG=1-X=PH，所以，PG=NH，即X=1/2-X，X=1/4。
这时，BP=1/4根号2。
热心网友
时间：2024-10-13 19:07
显然，直径所张的圆周角是直角。∴∠APN＝90°。
∵ABCD是矩形，∴∠BAF＝∠ABE＝90°，而∠ABF＝∠ABC/2＝90°/2＝45，
∴∠AFB＝45°，∴AF＝AB＝BE，∴ABEF是正方形，∴N是EF的中点。
由AF＝AB＝1，NF＝EF/2＝AB/2＝1/2，∴AN＝√（1＋1/4）＝√5/2。
由AP⊥NP，AF⊥NF，得：A、P、N、F共圆，∴∠PNA＝∠AFB＝45°，∴PA＝AN/√2＝√10/4。
过P作PQ⊥AB交AB于Q，容易证得：PQ＝BQ＝BP/√2，∴AQ＝AB－BQ＝1－BP/√2。
显然，有：AQ^2＋PQ^2＝PA^2，∴（1－BP/√2）^2＋（BP/√2）^2＝（√10/4）^2
∴16（BP/√2）^2－16（BP/√2）＋3＝0，∴［4（BP/√2）－3］［4（BP/√2）－1］＝0
∴4（BP/√2）－3＝0，或4（BP/√2）－1＝0
∴BP＝3√2/4，或BP＝√2/4。
当BP＝3√2/4时，容易验证此时∠APN＞90°，显然是不合理的，所以要舍去。
于是：当BP＝√2/4时，∠APN＝90°。
