利用曲线积分,求星形线x=acos³t,y=asin³t所围图形面积

发布网友 发布时间：2024-10-02 05:50

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热心网友 时间：2024-10-17 18:21

面积是(3πa^2)/8。

由对称性，S＝4∫(0→a)ydx

＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]

＝12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt

＝12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4－(sint)^6] dt

＝12a^2[3/4*1/2*π/2－5/6*3/4*1/2*π/2]

＝(3πa^2)/8。

在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。

物理学中的许多简单的公式，在推广之后都是以曲线积分的形式出现。曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出现的概率。

参考资料来源：百度百科-曲线积分

热心网友 时间：2024-10-17 18:25

简单计算一下即可，答案如图所示

热心网友 时间：2024-10-17 18:22

利用曲线积分计算曲线所围成图形的面积 ：

星形线x=acos³t,y=asin³t,0≤t≤2:

[r(t)]^2=[x(t)]^2+[y(t)]^2=a^2(cost)^6+a^2(sint)^6

=a^2[(cost)^2+(sint)^2][(cost)^4+(sint)^4-(cost)^2(sint)^2]

=a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]

所以面积

S=(1/2)∫[r(t)]^2dt

=(1/2)∫(0->2π) a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]dt

=5πa^2/8

扩展资料：

用格林公式求星型线 x=acos³t,y=asin³t的面积.

S=(1/2)∮xdy-ydx=[0,2π](1/2)∫(3a²cos⁴tsin²t+3a²sin⁴tcos²t)dt

=[0,2π](3a²/2)∫(cos²tsin²t(cos²t+sin²t)dt=[0,2π](3a²/2)∫(cos²tsin²t)dt

=[0,2π](3a²/2)∫[(1/4)(1+cos2t)(1-cos2t)dt=[0,2π](3a²/2)∫[(1/4)(1-cos²2t)dt

=[0,2π](3a²/2)[(1/4)∫dt-(1/8)∫(1+cos4t)dt]

=[0,2π](3a²/2)[(1/8)∫dt-(1/32)∫cos4td(4t)]

=(3a²/2)[t/8-(1/32)sin4t][0,2π]=(3/8)πa²

参考资料来源：百度百科-曲线积分

热心网友 时间：2024-10-17 18:23

热心网友 时间：2024-10-17 18:20

面积是(3πa^2)/8。

由对称性，S＝4∫(0→a)ydx

＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]

＝12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt

＝12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4－(sint)^6] dt

＝12a^2[3/4*1/2*π/2－5/6*3/4*1/2*π/2]

＝(3πa^2)/8。

在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。

物理学中的许多简单的公式，在推广之后都是以曲线积分的形式出现。曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出现的概率。

参考资料来源：百度百科-曲线积分

热心网友 时间：2024-10-17 18:24

热心网友 时间：2024-10-17 18:22

简单计算一下即可，答案如图所示

热心网友 时间：2024-10-17 18:23

利用曲线积分计算曲线所围成图形的面积 ：

星形线x=acos³t,y=asin³t,0≤t≤2:

[r(t)]^2=[x(t)]^2+[y(t)]^2=a^2(cost)^6+a^2(sint)^6

=a^2[(cost)^2+(sint)^2][(cost)^4+(sint)^4-(cost)^2(sint)^2]

=a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]

所以面积

S=(1/2)∫[r(t)]^2dt

=(1/2)∫(0->2π) a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]dt

=5πa^2/8

扩展资料：

用格林公式求星型线 x=acos³t,y=asin³t的面积.

S=(1/2)∮xdy-ydx=[0,2π](1/2)∫(3a²cos⁴tsin²t+3a²sin⁴tcos²t)dt

=[0,2π](3a²/2)∫(cos²tsin²t(cos²t+sin²t)dt=[0,2π](3a²/2)∫(cos²tsin²t)dt

=[0,2π](3a²/2)∫[(1/4)(1+cos2t)(1-cos2t)dt=[0,2π](3a²/2)∫[(1/4)(1-cos²2t)dt

=[0,2π](3a²/2)[(1/4)∫dt-(1/8)∫(1+cos4t)dt]

=[0,2π](3a²/2)[(1/8)∫dt-(1/32)∫cos4td(4t)]

=(3a²/2)[t/8-(1/32)sin4t][0,2π]=(3/8)πa²

参考资料来源：百度百科-曲线积分