几道高数关于极限方面的问题I

发布网友发布时间：2024-10-05 21:19

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热心网友时间：2024-10-05 23:27

I　原题应该是：0<Xn<1，且Xn+1(1-Xn) = 1/4，用单调有界原理证明{Xn}收敛并求极限。（如果 “Xn+1(1-Xn)大于等于0.25”，找不到路子证明）
　　证明由于0<Xn<1，且Xn+1(1-Xn) = 1/4，可知 {Xn} 有界，且由
　　Xn+2 - Xn+1 = (1/4 )/(1-Xn) - (1/4 )/(1-Xn+1)
　　= (1/4 )(Xn+1 - Xn)/(1-Xn)(1-Xn+1)，
知 Xn+2 - Xn+1 与 Xn+1 - Xn 同号，因此 {Xn} 单调。据单调有界定理，{Xn} 收敛。设{Xn} 的极限为 A，则在
　　　　Xn+1(1-Xn) = 1/4
中令n→inf.，可得
　　　　A(1-A) = 1/4，
解得 A = 1/2，即{Xn} 的极限为 1/2。

　　II 证由条件易见，数列 {a(n)} 单调上升有上界 b(1)，{b(n)} 单调下降有下界 a(1)，据单调有界定理，数列 {a(n)} 与 {b(n)} 均收敛，设 {a(n)} 的极限为a，则由条件lim[b(n)-a(n)] = 0，
　　lim(n→inf.)b(n)
　　 = lim(n→inf.)[b(n)-a(n)] + lim(n→inf.)a(n)
　　 = 0 + a = a，
得证。