发布网友 发布时间:2024-10-06 10:45
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热心网友 时间:2024-10-25 22:30
等于0
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续(其中a不等于b),在开区间(a,b)上可导,
且f(a)=f(b),那么至少存在一点ξ∈(a、b),使得 f'(ξ)=0。称为罗尔定理。
罗尔定理是以法国数学家罗尔的名字命名的。
罗尔定理的三个已知条件的意义:
⒈f(x)在[a,b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线;
⒉f(x)在(a,b)内[1]可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在;
⒊f(a)=f(b)表明曲线的割线(直线AB)平行于x轴
罗尔定理的结论的直几何意义是:在(a,b)内至少能找到一点ξ,使f'(ξ)=0,表明曲线上至少有一点的切线斜率为0,从而切线平行于割线AB,与x轴平行
罗尔定理的证明:
根据 f是闭区间 [a,b] 上连续函数的性质,由极值定理得在 [a,b] 上有最大值(M)和最小值(m)
⒈如果M=m,此时f(x)在[a,b]上恒为常数,结论显然成立。
⒉如果M>m,由条件f(a)=f(b)知,两个数M,m中至少有一个不等于端点的函数值f(a)=f(b),不妨设M≠f(a)(如果设m≠f(a),证法完全类似),那么必定在开区间(a,b)内有一点ξ使f(ξ)=M。
法1:因此,∀x∈[a,b],有f(x)≤ f(ξ),由费马引理(fermat引理)可知f'(ξ)=0
法2:由于f(x)在ξ处最大,故不论Δx是正或负,总有
f(ξ+Δx)- f(ξ)≤ 0,
因此,当Δx > 0 时,
{ f(ξ+Δx)- f(ξ)} / Δx ≤ 0 ,
故由极限的保号性有
f'+(ξ)=lim{ f(ξ+Δx)- f(ξ)} / Δx ≤ 0 , (1)
注:此处+为下角标。 lim下还有Δx→0+(此处+为上角标)
而当Δx < 0 时,
{ f(ξ+Δx)- f(ξ)} / Δx ≥ 0 ,
故
f'-(ξ)=lim{ f(ξ+Δx)- f(ξ)} / Δx ≥ 0 。 (2)
注:此处 - 为下角标。 lim下还有Δx→0-(此处-为上角标)
由(1),(2)两式及f'(ξ)存在知,必有
f'(ξ)=0.[2]
参考资料:http://ke.baidu.com/view/398971.htm
热心网友 时间:2024-10-25 22:30
f(x)可导,则导函数连续。(这个需要证请追问)热心网友 时间:2024-10-25 22:31
由拉格拉日定理可知(可导必连续)
热心网友 时间:2024-10-25 22:31
f(x)可导,则导函数连续。(这个需要证请追问)来自:求助得到的回答