一文解释 矩阵特征分解
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发布时间：2024-10-06 23:03
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时间：2024-11-12 12:54
一、理解
当我们观察运动时，我们关注的是运动的速度和方向，或是将物理中的合力分解为多个分力以简化问题。因此，自然会思考矩阵是否也能进行类似的拆分。
1、存在性
矩阵乘法本质上是一种变换，将一个向量通过旋转、拉伸变为另一个向量的过程。例如，给定一个向量[公式] 和任意矩阵 [公式]，它们相乘会得到一个新的向量 [公式]。通过观察，我们可以清晰地看到这种变换过程。矩阵A是随机给出的，这意味着我们可以随意变换原始向量。公式[公式]描述了右图的变换，表示矩阵[公式]对向量[公式]的变换效果只有拉伸，没有旋转。
2、合理性
特征值和特征向量是为了研究向量在经过线性变换后的方向不变性而提出的。矩阵和该矩阵的非特征向量相乘是对该向量的旋转变换；矩阵和该矩阵的特征向量相乘是对该向量的伸缩变换，其中伸缩程度取决于特征值大小。矩阵在特征向量所指的方向上具有增强（或减弱）特征向量的作用。这意味着，如果矩阵持续地作用于向量，那么特征向量将逐渐突出，通过Matlab计算验证这一结论。
二、计算方法
在式(1)的基础上，我们进行一些变形：[公式]。根据线性方程组理论，为了使这个方程有非零解，矩阵[公式]的行列式必须是零，即[公式]。上式也被称为[公式]的特征方程。计算出所有[公式]的取值后，再代入[公式]求解对应的[公式]。注意：要注意特征值是重根时的情况。
1、手算
通过一个例子来动手计算一遍，求矩阵[公式]的特征值和特征向量。当[公式]时，[公式]。当[公式]时，[公式]。当[公式]时，[公式]。
2、Matlab算
我们还可以利用Matlab中的eig()函数来帮我们求解。Matlab计算的特征向量值与手算的结果不同，但比例是一样的，这是因为特征向量不是唯一的，特征向量来自齐次线性方程组的解，是齐次线性方程组的基础解系的非零线性组合。
应用
1、在图像压缩中，一张图片可以看作是一个矩阵。当我们提取了这个矩阵的特征值和特征向量后，我们可以只用最大的几个特征值（其他的变为0）就可以基本复原这张图片。
