FFT中零延拓与周期延拓对于分辨率的影响

发布网友发布时间：2024-10-07 19:33

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热心网友时间：2024-11-03 07:16

首先，我们总结傅里叶变换的性质，其中包括频域卷积定理、时域卷积定理、时移性质以及频移性质等。这些性质在理解零延拓与周期延拓对分辨率的影响中起到关键作用。

对于无限长信号的周期延拓，我们采用矩形窗函数进行截取，接着通过梳妆函数进行周期延拓。数学描述中，通过引入窗函数，减少频谱泄露问题。随后，对截取的信号进行周期延拓，进而对其傅里叶变换，利用时域与频域的卷积定理进行处理。

接下来，我们讨论了通过窗函数截取有限长信号，进行自我复制并无缝衔接，再进行无限长周期延拓的过程。通过对比两种方法的最终推导公式，可以直观地观察到零延拓与周期延拓对于信号分辨率的影响。

假设考察单一频率信号，零延拓通过增加采样点数，使得comb函数采样更为密集，从而提高测量值的准确度。在未进行零延拓时，信号频率值可能无法准确读取，特别是在频偏量不是整数倍的情况下。通过零延拓，sinc函数的描述更为详尽，有助于更准确地读取频率值。

周期延拓操作等同于只采用一段数据进行傅里叶变换，对于单一频率信号的分辨能力并无改善。橘色曲线在蓝色曲线的最大值与零点之间增加了零点，但并未改变频率分辨率，仍为截取信号时间跨度的导数。

对于两个不同频率间隔信号，零延拓方法有助于将信号区分开。物理分辨率定义为sinc函数最大值与另一个sinc函数第一个零点位置的关系，而计算分辨率则决定了sinc函数波形细节描述的程度，进而影响频率值的准确读取。

综上所述，零延拓对于增加频率分辨率起到关键作用，特别是在信号包含两个不同频率分量时。周期延拓操作虽能提供一定数量的信号复制，但并未显著改善对于单一频率信号的分辨能力。物理分辨率与计算分辨率共同决定了信号分辨与读取的准确度。