齐次定理齐次定理的证明

发布网友发布时间：2024-10-07 21:48

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热心网友时间：2024-11-28 21:57

齐次函数的特性体现在其定义上：对于一个n次的齐次函数 f(tx, ty)，我们有 f(tx, ty) = t^n * f(x, y)，这一性质对所有实数t都成立。这种函数可以被视为关于三个变量x, y, t的三元函数。

为了进一步探讨其特性，我们假设f在三个变量上都可微分。在微分过程中，令u=tx, v=ty，我们对两边关于t求偏导数，得到

(∂f/∂u) * (∂u/∂t) + (∂f/∂v) * (∂v/∂t) = n * t^(n-1) * f(x, y)

由于f满足f(u, v) = t^n * f(x, y)，我们可以将f(x, y)替换为f(u, v)，得到

(∂f/∂u) * x + (∂f/∂v) * y = n * f(u, v) / t

进一步化简，我们有

(∂f/∂u) * u + (∂f/∂v) * v = n * f(u, v)

这就是齐次定理的证明，它揭示了齐次函数在微分性质下的重要关系。