三面角正弦定理证明

发布网友发布时间：2024-10-07 19:03

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热心网友时间：2024-10-11 18:48

考虑在平面BPC中，过点A作垂线OA，垂足为O。进一步，过O点分别作OM垂直于BP于点M，ON垂直于PC于点N。连接AM和AN，形成几何构造。

观察可得，角PB与直角三角形AMO互补，因此Sin∠PB等于OA除以AM，即Sin∠PB=AO/AM。同样，角PC与直角三角形ANO互补，Sin∠PC等于AO除以AN，即Sin∠PC=AO/AN。

另一方面，Sin∠CPA等于AN相对于AP的比值，即Sin∠CPA=AN/AP。Sin∠APB则等于AM相对于AP的比值，Sin∠APB=AM/AP。

通过这些比例关系，我们可以推导出Sin∠PB与Sin∠CPA之间的关系：Sin∠PB/Sin∠CPA等于AO乘以AP除以AM乘以AN，即Sin∠PB×AN/Sin∠CPA×AM=AO×AP/(AM×AN)。同时，Sin∠PC与Sin∠APB也有类似的关系，Sin∠PC/Sin∠APB也等于Sin∠PB/Sin∠CPA。

因此，通过上述比例的对等性，我们得以证明三面角正弦定理，即Sin∠PB/Sin∠CPA=Sin∠PC/Sin∠APB，这体现了立体几何中的一个重要性质。

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